Resto secondo Lagrange: la seguente approssimazione è per eccesso o per difetto?

[gospelone]

Salve a tutti sono nutshell93 e sono nuovo del forum!
Ho deciso di aprire questo topic per far fronte ad un problema posto dalla mia insegnante del corso di Analisi 1 (per i curricula in chimica).
Premetto che questo argomento è risultato ostico a tutti gli iscritti al corso e ha fatto si che al primo esonero passassero meno di dieci persone su più di 110 partecipanti.
Il testo è il seguente:

Data la funzione:
f(x) = cosh(x − 1)

i) si scriva il polinomio di Taylor di punto iniziale x0 = 1 e ordine 4;
ii) si scriva la formula di Taylor di punto iniziale x0 = 1 e ordine 4 con il resto di Lagrange;
iii) detto P(x) il polinomio di Taylor di punto iniziale x0 = 1 e ordine 4, si dica se P( 1/2) ´e un’approssimazione per eccesso o per difetto di f(1/2) e si stimi l’errore |f( 1/2) − P(1/2)|.

Nonostante il mio impegno il punto 3 mi risulta ancora difficile da comprendere.
L'unica cosa sensata che mi sia venuta in mente era di porre f(x)>P(x) ma non sò come impostarla e come continuare.
Grazie in anticipo.

[Scotti1]

"nutshell93":iii) detto P(x) il polinomio di Taylor di punto iniziale x0 = 1 e ordine 4, si dica se P( 1/2) ´e un’approssimazione per eccesso o per difetto di f(1/2) e si stimi l’errore |f( 1/2) − P(1/2)|.

Nonostante il mio impegno il punto 3 mi risulta ancora difficile da comprendere.
L'unica cosa sensata che mi sia venuta in mente era di porre f(x)>P(x) ma non sò come impostarla e come continuare.
Grazie in anticipo.

Ciao Nutshell93.
Innanzitutto benvenuto. Inoltre per una migliore comprensione delle formule scrivile tra i dollari.

Per mezzo dello sviluppo di Taylor è possibile scrivere una funzione n volte derivabile in un intervallo $I sube mathbb(R)$:

$f(x) = P_n(x) + R_n$

dove $R_n$ è il resto n-esimo della serie. Se lo sviluppo ha punto iniziale $x_0$ allora il resto nella forma di Lagrange diventa:

$ R_n(xi ) = (f^((n+1))(xi )(x-x_0)^(n+1))/((n+1)!) $

con $xi in (x,x_0)$

Nel tuo caso $n=4$ e $x_0 =1$ quindi:

$ R_4(xi ) = (f^(5)(xi )(x-1)^(5))/((5)!) $

cioè con $f(x) = cosh(x − 1)$

$ R_4(xi ) = (sinh(xi - 1)(x-1)^(5))/((5)!) $

Bene veniamo alla tua domanda.... Ora per valutare se $P(x)$ approssima per eccesso o difetto $f(x)$ bisogna capire che segno ha il resto per $xi in (1/2,1)$. Puoi facilmente vedere che è sempre positivo per $xi < 1$.
Quindi $P_4(x)$ approssima per difetto la tua $f(x)$.

Inoltre valutare $|f( 1/2) − P(1/2)|$ significa valutare proprio il resto nell'intervallo $xi in (1/2,1)$ con appunto $x=1/2$ $x_0=1$:

$ |R_4(xi )| = |(sinh(xi - 1)(1/2-1)^(5))/((5)!)| $

e siccome $sinh(x)$ è una funzione crescente:


$0< |R_4(xi )| < |(sinh(- 1/2))/(2^5(5)!)| $

E' tutto.
SSSSC (spero sia stato sufficientemente chiaro)

Bye

[gospelone]

Grazie,grazie e ancora grazie! Questa risposta ( su un argomento cosi ostico) mi è stata e sarà di immensa utilità ! Ne faccio tesoro!!