Resto nell'Interpolazione

[nirvana2]

Ciao,
domanda sul resto dell'interpolazione $r(x) = f(x) - p_n (x)$
È definito così: $r(x) = pi_n (x) (f^(n+1) (epsilon))/((n+1)!)$ con $pi_n (x) = ( x-x_0 )*( x-x_1 )*...*( x-x_n )$

Prendiamo l'interpolazione lineare, quindi abbiamo i nodi $x_0 , x_1$.
Allora $r(x)=( x - x_0 )*( x - x_1 )*(f''(epsilon))/2$
Ora si vuole trovare il valore MASSIMO in modulo e quindi si fa così: $max_(x in ( x_0 , x_1 )) |( x - x_0 )*( x - x_1 )| = (| x_1 - x_0 |^2)/4$
DOMANDA 1: Perché dà questo risultato il massimo di quella moltiplicazione???

Poi bisogna aggiungere il massimo del valore assoluto della doppia derivata di $f$, che possiamo battezzarlo $M_2$ e ottenere $|r(x)| <= M_2 * |x_1 - x_0 |^2/8$

DOMANDA 2: spesso vedo che si può appunto trovare il massimo errore (quindi $<=$) cioè senza mettere un valore preciso di $x$. Ma come si fa? Cosa metto invece di $epsilon$? E quindi invece di $M_2$? Gli estremi dell'intervallo $(x_0 , x_1)$? Ma quale?

Grazie a chi risponde.

[_luca.barletta]

"nirvana":Ora si vuole trovare il valore MASSIMO in modulo e quindi si fa così: $max_(x in ( x_0 , x_1 )) |( x - x_0 )*( x - x_1 )| = (| x_1 - x_0 |^2)/4$
DOMANDA 1: Perché dà questo risultato il massimo di quella moltiplicazione???

Perché la funzione da massimizzare è una parabola con gli zeri in $x_0$ e $x_1$, quindi il massimo sarà individuato quando x è la semisomma degli zeri (punto medio del segmento che va da $x_0$ a $x_1$) $x=(x_0+x_1)/2$. Oppure basta fare una derivata e porla a zero, come desideri.

[nirvana2]

Ciao Luca, grazie per la risposta, temevo fosse qualcosa di "facile"...

La DOMANDA 2:
per il $max_(x in (x_0, x_1)) |f^('') (x)|$ che ho ribattezzato $M_2$ dovrei fare la stessa cosa, ossia "derivare" la funzione (la derivata seconda della funzione) e vedere dove si trova il massimo...Però se prendo $f(x)=tan(x)$ non mi torna. Eppure devo mostrare che in $x in (1,35 ; 1,36)$ ho $|r(x)|<=0.267*10^(-2)$, proprio per $f(x)=tan(x)$.

Grazie per chi risponde.