Resoconto simboli Landau :)

[matehack]

Salve a tutti,

Premessa: Per chiunque abbia voglia di arricchirlo è sempre ben accetto!

[size=200].: Perché utilizzarli? :.[/size]

Perché permettono un ottima approssimazione dei polinomi in modo tale da facilitare i calcoli con la minore perdita di informazione.


[size=200].: Come li definiremo? :.[/size]

Attraverso i limiti di successioni e funzioni.


[size=200].: Simboli piccoli :.[/size]

[size=150].: o piccolo :.[/size]

Successione:

[tex]$Se$[/tex] [tex]$\EE \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{An}{Bn} \right| = 0 => An = o(Bn)$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due successioni An e Bn per n che tende all'infinito esiste ed è infinitesimo [tex]$0$[/tex].

Funzione:

[tex]$Se[/tex] [tex]$\EE \lim_{x \to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 0 => f(x) = o(g(x))$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due funzioni f(x) e g(x) per x che tende all'infinito esiste ed è infinitesimo [tex]$0$[/tex].

Cos'è:

Infinitesimo.

Proprietà:

- Per [tex]$o(1)$[/tex] si intede un infinitesimo [tex]$0$[/tex];
- Si comporta bene con tutte le operazioni algebriche di base (+, -, /, *);
- Ignora segni negativi e costanti moltiplicative;
- Gode della proprietà transitiva difatti è possibile riscrivere la scala di infiniti:

[tex]$ln(n) = o(n^b)$[/tex]
[tex]$n^b = o(q^n)$[/tex]
[tex]$q^n = o(n!)$[/tex]
[tex]$n! = o(n^n)$[/tex]

Per le funzioni la scala è identica, bisogna solo sostituire [tex]$n$[/tex] con [tex]$x$[/tex].

[size=150].: Asintotico :.[/size]

Successione:

[tex]$Se$[/tex] [tex]$\EE \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{An}{Bn} \right| = 1 => An \sim Bn$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due successioni An e Bn per n che tende all'infinito esiste ed è finito e [tex]$1$[/tex].

Funzione:

[tex]$Se$[/tex] [tex]$\EE \lim_{x \to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| = 1 => f(x) \sim g(x)$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due funzioni f(x) e g(x) per x che tende all'infinito esiste ed è finito e [tex]$1$[/tex].

Cos'è:

Conserva il limite.

Proprietà:

- Include anche [tex]$O[/tex], [tex]\Omega[/tex], [tex]\Theta$[/tex] per definizione;
- Si comporta bene con tutte le operazioni algebriche di base (/, *) escluse (+, -);
- Ignora segni negativi e costanti moltiplicative;
- Gode delle proprietà riflessiva, simmetrica, transitiva;
- Permette uno schizzo approssimativo del grafico di una funzione senza derivate;
- E' possibile riformulare il concetto di asintotico tramite [tex]$o$[/tex] permettendone l'utilizzo nelle espressioni:

Successione:

[tex]$An = Bn + o(Bn)$[/tex]

Funzione [tex]$x_0 \to +\infty$[/tex]:

[tex]$f(x) = g(x) + o(g(x))$[/tex]

Funzione [tex]$x_0 \to 0$[/tex]:

[tex]$f(x) = g(x) + o(1)$[/tex]

[size=200].: Simboli grandi :.[/size]

[size=150].: O grande :.[/size]

Successione:

[tex]$Se[/tex] [tex]$\EE \limsup_{n \to +\infty} \left| \frac{An}{Bn} \right| < +\infty => An = O(Bn)$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due successioni An e Bn per n che tende all'infinito esiste ed è finito e discosto da [tex]$+\infty$[/tex].

Funzione:

[tex]$Se[/tex] [tex]$\EE \limsup_{x \to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| < +\infty => f(x) = O(g(x))$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due funzioni f(x) e g(x) per x che tende all'infinito esiste ed è finito e discosto da [tex]$+\infty$[/tex].

Cos'è:

Superiormente limitato.

Proprietà:

- Per [tex]$O(1)$[/tex] si intede una quantità limitata discosta da [tex]$+\infty$[/tex];
- Include anche [tex]$o$[/tex] per definizione;
- Si comporta quasi sempre bene con tutte le operazioni algebriche di base (+, -, /, *).

[size=150].: Omega grande :.[/size]

Successione:

[tex]$Se[/tex] [tex]$\EE \liminf_{n \to +\infty} \left| \frac{An}{Bn} \right| > 0 => An = \Omega(Bn)$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due successioni An e Bn per n che tende all'infinito esiste ed è finito e discosto da [tex]$0$[/tex].

Funzione:

[tex]$Se[/tex] [tex]$\EE \liminf_{x \to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| > 0 => f(x) = \Omega(g(x))$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due funzioni f(x) e g(x) per x che tende all'infinito esiste ed è finito e discosto da [tex]$0$[/tex].

Cos'è:

Inferiormente limitato.

Proprietà:

- Per [tex]$\Omega(1)$[/tex] si intede una quantità limitata discosta da [tex]$0$[/tex];
- Si comporta quasi sempre bene con tutte le operazioni algebriche di base (+, -, /, *).

[size=150].: Theta grande :.[/size]

Successione:

[tex]$Se$[/tex] [tex]$\EE 0 < \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{An}{Bn} \right| < +\infty => An = \Theta(Bn)$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due successioni An e Bn per n che tende all'infinito esiste ed è finito e discosto da [tex]$0$[/tex] e [tex]$+\infty$[/tex].

Funzione:

[tex]$Se[/tex] [tex]$\EE 0 < \lim_{x \to x_0} \left| \frac{f(x)}{g(x)} \right| < +\infty => f(x) = \Theta(g(x))$[/tex]

Quindi se il limite del rapporto delle due funzioni f(x) e g(x) per x che tende all'infinito esiste ed è finito e discosto da [tex]$0$[/tex] e [tex]$+\infty$[/tex].

Cos'è:

Limitato.

Proprietà:

- Per [tex]$\Theta(1)$[/tex] si intede una quantità limitata discosta da [tex]$0$[/tex] e [tex]$+\infty[/tex]$;
- Include anche [tex]\sim[/tex], [tex]$O[/tex], [tex]\Omega$[/tex] per definizione;
- Si comporta quasi sempre bene con tutte le operazioni algebriche di base (+, -, /, *).


[size=200].: Come utilizzarli nelle espressioni? :.[/size]

Nelle espressioni bisogna utilizzarli un pò come dei contenitori in modo tale da inglobare i termini meno importanti all'interno del simbolo richiesto e facilitare le espressioni con la minore perdita di informazione ricordandoci che nelle successioni il termine dominante tende unicamente a [tex]$n \to +\infty$[/tex] mentre nelle funzioni tende a [tex]$x_0 \to +\infty$[/tex] o [tex]$x_0 \to 0$[/tex].

1) Termine dominante che tende a [tex]$n \to +\infty$[/tex] o [tex]$x_0 \to +\infty[/tex]:
- [tex]$o$[/tex] include al suo interno i termini di grado [tex]$<$[/tex];
- [tex]$\sim[/tex] trasformarlo in [tex]$o$[/tex] piccolo e seguire sopra;
- [tex]$O$[/tex] grande include al suo interno i termini di grado [tex]$<=$[/tex];
- [tex]$\Omega$[/tex] include al suo interno i termini di grado [tex]$>=$[/tex];
- [tex]$\Theta$[/tex] grande include al suo interno i termini compresi.

2) Termine dominante che tende a [tex]$x_0 \to 0$[/tex]:
- [tex]$o$[/tex] include al suo interno i termini di grado [tex]$>$[/tex];
- [tex]$\sim$[/tex] trasformarlo in [tex]$o$[/tex] piccolo e seguire sopra;
- [tex]$O$[/tex] include al suo interno i termini di grado [tex]$>=$[/tex];
- [tex]$\Omega$[/tex] include al suo interno i termini di grado [tex]$<=$[/tex];
- [tex]$\Theta$[/tex] include al suo interno i termini compresi.


[size=200].: Relazioni fra simboli piccoli e simboli grandi? :.[/size]

Successione:

- [tex]$o(An) = O(An)$[/tex]
- [tex]$O(o(An)) = O(An)$[/tex]
- [tex]$O(o(An)) = o(An)$[/tex]
- [tex]$o(An) O(Bn) = O(An Bn)$[/tex]

[tex]$Se$[/tex] [tex]$An \sim Bn$[/tex] $-=$ [tex]$An = \Theta(Bn)$[/tex]

Gli argomenti sono intercambiabili:

- [tex]$o(An) = o(Bn)$[/tex]
- [tex]$O(An) = O(Bn)$[/tex]
- [tex]$\Omega(An) = \Omega(Bn)$[/tex]
- [tex]$\Theta(An) = \Theta(Bn)$[/tex]

Funzione:

- [tex]$o(f(x)) = O(f(x))$[/tex]
- [tex]$O(o(f(x))) = O(f(x))$[/tex]
- [tex]$O(o(f(x))) = o(f(x))$[/tex]
- [tex]$o(f(x)) O(g(x)) = O(f(x) g(x))$[/tex]

[tex]$Se$[/tex] [tex]$f(x) \sim g(x)$[/tex] $-=$ [tex]$f(x) = \Theta(g(x))$[/tex]

Gli argomenti sono intercambiabili:

- [tex]$o(f(x)) = o(g(x))$[/tex]
- [tex]$O(f(x)) = O(g(x))$[/tex]
- [tex]$\Omega(f(x)) = \Omega(g(x))$[/tex]
- [tex]$\Theta(f(x)) = \Theta(g(x))$[/tex]


Saluti!

[gugo82]

Ma almeno le definizioni dei simboli di Landau le hai lette?
No, perchè quelle che proponi sono errate.

Quando si scrivono cose del genere è meglio documentarsi a fondo, perchè un formulario scritto male è più un intralcio che un aiuto.

Quindi ti esorto a revisionare/correggere tutto il tuo post, altrimenti il thread verrà chiuso.

[matehack]

Sono le stesse identiche definizioni prese dalla documentazione esposte attraverso i limiti.
Se non intendi questo non capisco cosa intendi...

[gugo82]

"matehack":Sono le stesse identiche definizioni prese dalla documentazione esposte attraverso i limiti.
Se non intendi questo non capisco cosa intendi...

Dalla documentazione di chi? Qualche docente dell'università di Milano?
Posso sapere da quale testo hai preso quelle definizioni?
Non ti rendi conto che mancano delle ipotesi lì dentro?

[ciampax]

@matehack: tu scrivi: "Inoltre o piccolo si comporta bene con tutte le operazioni algebriche (utilizzabile nelle espressioni); "

Ora, prova a vedere cosa succede se calcoli il seguente limite

[tex]$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x-\tan x}{x^3}$[/tex]

se provi a fermarti agli "o piccoli" di $x$, e poi dimmi se si comporta bene con tutte le operazioni algebriche!!!!

[matehack]

Chiedo scusa per la mia ignoranza.
Ho espresso all'inizio:

Per chiunque abbia voglia di arricchirlo è sempre ben accetto!

Le critiche quando buone sono solo costruttive.
Non potrebbe essere una bella idea per documentare un pò questo argomento da parte Vs. ? Nel senso, cancellare questo post e scriverne uno decentemente? O linkare della documentazione fatta bene?

[Seneca1]

http://www.matematicamente.it/forum/sulle-proprieta-dell-o-piccolo-t49863.html

[Camillo]

Gli o piccoli si comportano bene anche nell'esempio purchè non ci si fermi troppo presto . Se si giunge fino ai termini cubici si ottiene il risultato corretto del limite cioè $-1/2$.

Son sicuro che matehack voleva dire che si comportano bene nel senso che la loro algebra è "semplice " :
$AA m,n in NN $
$o(x^n)+o(x^n)=o(x^n) $
$a*o(x^n)=o(a*x^n)= o(x^n)$ essendo $ a ne 0 $ una costante
$o(x^n)-o(x^n)=o(x^n )$
$ x^m*o(x^n)= o(x^(m+n)) $
$ o(x^m)*o(x^n)= o(x^(m+n) )$.
$o(o(x^n)) = o(x^n ) $
$o(x^n +o(x^n)) = o(x^n ) $

[ciampax]

"Camillo":Gli o piccoli si comportano bene anche nell'esempio purchè non ci si fermi troppo presto . Se si giunge fino ai termini cubici si ottiene il risultato corretto del limite cioè $-1/2$.

Son sicuro che matehack voleva dire che si comportano bene nel senso che la loro algebra è "semplice " :
$o(x^n)+o(x^n)=o(x^n) $
$a*o(x^n)=o(a*x^n)= o(x^n)$ essendo $ a $ una costante
$o(x^n)-o(x^n)=o(x^n )$
$ x^m*o(x^n)= o(x^(m+n)) $
$ o(x^m)*o(x^n)= o(x^(m+n) )$.
$o(o(x^n)) = o(x^n ) $
$o(x^n +o(x^n)) = o(x^n ) $

Camillo, io lo so. Tu dici che matehack voleva intendere questo... io, per esperienza, dico di no. (ma sono pur sempre un bastardo professore di Analisi I)

[matehack]

Si che volevo intendere questo, si parlava di simboli di landau quindi operazioni riferite ad ognuno.

Per chi leggerà in futuro questo post mi è stato consigliato:

Fiorenza-Greco, Lezioni di Analisi Matematica - volume primo, seconda edizione, 1985, Liguori, Napoli, cap. 3, §16.II.

Saluti.

[Camillo]

Forse matehack non ha ancora "toccato con mano " le insidie degli o piccoli e compagnia cantando.
Certo che un bel documento rigoroso quanto basta , chiaro con esempi illuminanti su :

$o$ piccoli
$O$ grandi
$ Omega $
$ Theta $
in sintesi, sui simboli di Landau sarebbe molto utile.
Chi lo facesse avrebbe senz'altro la riconoscenza di molti .

Paolo 90, per non far nomi, mi sembra un candidato eccellente

[Camillo]

Vedo che gugo ha iniziato a dare un contributo prezioso

QUI
https://www.matematicamente.it/forum/i-s ... 66257.html

[matehack]

Grande gugo82!!!!! ^_^

[matehack]

Aggiornamento 23:19, 10/12/2010.

[matehack]

Aggiornamento 03:52, 12/12/2010.

[dissonance]

[mod="dissonance"]@matehack: Possiamo sapere cosa stai facendo? Che significano questi "aggiornamenti"?[/mod]

[matehack]

Le modifiche del post iniziale
Magari un giorno tornerà utile a qualcuno

[Steven11]

[mod="Steven"]Non serve tirare su il topic per ogni modifica. E' ammesso richiamare all'attenzione generale il topic solo quando ci sono validi motivi, e comunque non prima di un tot ore dall'ultimo intervento.[/mod]