Residuo e sostituzione asintotica di $sin(z)$
Ho un piccolo dubbio. Data la funzione $f(z) = (z(z+1))/sin(z^2)$ mi sono posto il problema di determinare il residuo nel punto $0$.
Il sospetto è che $0$ sia un polo del prim'ordine. Per dimostrarlo mi è stato detto che si può approssimare $sin(z^2)$ con $z^2$ e quindi:
$(z(z+1))/sin(z^2) sim (z + 1) * 1/z = 1 + 1/z$
ma questo è sufficiente per concludere che non compaiono altre potenze del tipo $1/z^k$ con $k > 1$ nello sviluppo di Laurent? Con questa misera approssimazione del seno?
Grazie.
Il sospetto è che $0$ sia un polo del prim'ordine. Per dimostrarlo mi è stato detto che si può approssimare $sin(z^2)$ con $z^2$ e quindi:
$(z(z+1))/sin(z^2) sim (z + 1) * 1/z = 1 + 1/z$
ma questo è sufficiente per concludere che non compaiono altre potenze del tipo $1/z^k$ con $k > 1$ nello sviluppo di Laurent? Con questa misera approssimazione del seno?
Grazie.
Risposte
Se vuoi vai avanti con lo sviluppo e ti accorgi che i termini in più entrano tutti nella parte analitica della serie.
$z(z+1)/sin(z^2) = z(z+1) / (z^2 - z^6 /6) = 1/z(z+1)(1-z^4 /6)^(-1) = 1/z (z+1) (1 + z^4 / 6) $.
Le uguaglianze che ho scritto sono vere a meno di o piccoli che non avevo voglia di scrivere
, comunque è solo per farti vedere che se ora sviluppi il prodotto i termini aggiuntivi sono tutti analitici.
$z(z+1)/sin(z^2) = z(z+1) / (z^2 - z^6 /6) = 1/z(z+1)(1-z^4 /6)^(-1) = 1/z (z+1) (1 + z^4 / 6) $.
Le uguaglianze che ho scritto sono vere a meno di o piccoli che non avevo voglia di scrivere
, comunque è solo per farti vedere che se ora sviluppi il prodotto i termini aggiuntivi sono tutti analitici.
E' tutto chiaro, ti ringrazio.
Ciao. Io di solito classifico prima la singolarità al denominatore e poi mi regolo di conseguenza. Nel tuo caso se $z=0$ è polo semplice allora puoi fare:
$R[0]=lim_(z -> 0) zf(z)$
Quindi, sotto l'operazione limite, ottieni: $(z^2(z+1))/sin(z^2)$.
Ricordando che $sin(z^2)\simz^2$ allora si ha: $(z^2(z+1))/z^2=z+1->1$ per $z->0$.
$R[0]=lim_(z -> 0) zf(z)$
Quindi, sotto l'operazione limite, ottieni: $(z^2(z+1))/sin(z^2)$.
Ricordando che $sin(z^2)\simz^2$ allora si ha: $(z^2(z+1))/z^2=z+1->1$ per $z->0$.
Non ho capito che cosa si è fatto in questo passaggio:
"Giuly19":
$1/z(z+1)(1-z^4 /6)^(-1) = 1/z (z+1) (1 + z^4 / 6) $.
Infatti marshall, anche a me non è tanto chiaro. Ho solo notato che ha cambiato il segno nella parentesi ma non ho capito quali passaggi hanno portato a quel risultato. Comunque sia credo che il risultato sia uguale in entrambi i metodi.
"Giuly19":
Le uguaglianze che ho scritto sono vere a meno di o piccoli che non avevo voglia di scrivere...
Il solito sviluppo in serie del tipo $[1/(1+z)=1-z+o(z)]$ per $[z->0]$. In questo caso: $[1/(1-z^4/6)=1+z^4/6+o(z^4)]$
grazie mille speculor 
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