Residuo di una funzione complessa

[scevafra-votailprof]

ho un testo del tipo:
trovare il residuo di questa funzione all'infinito

$f(z)=((1+z^10)cos(1/z))/((1+z^6)(2+z^5))$


io ho fatto in questo modo ma nn sono sicuro:
all'infinito la funzione è approssimabile a $1/z$
derivando il denominatore abbiamo che il residuo è $1$,ovvero un punto singolare essenziale,con residuo $1$.
è giusto?grazie mille
ciao

[gugo82]

Fatte le dovute semplificazioni si trova:

$f(z)=1/z*cos(1/z)*(1+1/z^10)/((1+1/z^6)*(1+2/z^5)) \quad$;

applicando la solita inversione circolare si trova:

$F(zeta)=f(1/zeta)=zeta*cos zeta*(1+zeta^10)/((1+zeta^6)*(1+2zeta^5))$

cosicché il residuo di $f$ in $oo$ è il secondo coefficiente della serie di Taylor di $F$ in $0$ che si calcola semplicemente col limite:

$lim_(zeta\to 0) (F(zeta))/zeta=lim_(zeta\to 0) cos zeta*(1+zeta^10)/((1+zeta^6)*(1+2zeta^5))=1 \quad$.

Ovviamente questo, che è il procedimento standard, coincide col calcolo del limite:

$lim_(z \to oo) z*f(z)=lim_(z \to oo) cos(1/z)*(1+1/z^10)/((1+1/z^6)*(1+2/z^5))=1 \quad$,

che in sostanza è quello che hai fatto da te.

[scevafra-votailprof]

grazie mille,nn sai che bella notizia mi hai dato..
grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee