Residuo
ho per definizione che il residuo di una funzione in z0 (singolarità isolata) è
[tex]\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} f(x)dz[/tex] con gamma una curva chiusa regolare che contiene solo z0 come punto singolare.
ora siccome mi confondo spesso, il teorema integrale di cauchy, non dice che l'integrale di una qualsiasi funzione esteso ad una curva chiusa fa 0?
[tex]\frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} f(x)dz[/tex] con gamma una curva chiusa regolare che contiene solo z0 come punto singolare.
ora siccome mi confondo spesso, il teorema integrale di cauchy, non dice che l'integrale di una qualsiasi funzione esteso ad una curva chiusa fa 0?
Risposte
Il teorema di Cauchy-Goursat dice che data una funzione olomorfa in un'aperto $T in CC$, l'integrale esteso ad una curva chiusa con supporto contenuto in tale $T$ è nullo.
La tua funzione è olomorfa nell'interno di $\gamma$?
La tua funzione è olomorfa nell'interno di $\gamma$?
beh, se z0 è una singolarità eliminabile, posso costruire una nuova funzione olomorfa che assume in z0 il valore del limite della funzione (per z--> z0), quindi l'integrale viene zero, o no?
Se la singolarità è eliminabile il residuo della funzione in quel punto vale 0.
esatto, mi mancava la condizione di olomorfia 
grazie mille.
grazie mille.
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