Residuo
Ciao a tutti!
è da un po che ci penso, ma nn riesco a trovare conferma. come posso risolvere il seguente residuo in $z_0=0$:
$f(z)=1/(sin (1/z))
grazie
Pole
è da un po che ci penso, ma nn riesco a trovare conferma. come posso risolvere il seguente residuo in $z_0=0$:
$f(z)=1/(sin (1/z))
grazie
Pole
Risposte
La strada per arrivare a trovare il risultato è composta di diversi passaggi. Con la sostituzione $p=1/z$ si ottiene…
$f(z)=1/(sin(1/z))=1/(sin p)$ (1)
Ora è evidente che il residuo di $f(z)$ in $z=0$ altro non è che il coefficiente del termine di grado $1$ della serie di Laurent della funzione $f(p)=1/(sin p)$. Per trovarlo partiamo dallo sviluppo in serie di $(sin p)/p$…
$(sin p)/p= 1-1/6*p^2+…$ (2)
Da esso si ricava lo sviluppo dell’inverso…
$p/(sin p)= 1+1/6*p^2+…$ (3)
Da questo…
$1/(sin p) = 1/p*p/(sin p)= 1/p+1/6*p+…$ (4)
Dalla (4) si vede che chiaramente che il residuo in $z=0$ della fuznione da te data è…
$R_(z=0) [1/(sin(1/z))]= 1/6$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$f(z)=1/(sin(1/z))=1/(sin p)$ (1)
Ora è evidente che il residuo di $f(z)$ in $z=0$ altro non è che il coefficiente del termine di grado $1$ della serie di Laurent della funzione $f(p)=1/(sin p)$. Per trovarlo partiamo dallo sviluppo in serie di $(sin p)/p$…
$(sin p)/p= 1-1/6*p^2+…$ (2)
Da esso si ricava lo sviluppo dell’inverso…
$p/(sin p)= 1+1/6*p^2+…$ (3)
Da questo…
$1/(sin p) = 1/p*p/(sin p)= 1/p+1/6*p+…$ (4)
Dalla (4) si vede che chiaramente che il residuo in $z=0$ della fuznione da te data è…
$R_(z=0) [1/(sin(1/z))]= 1/6$ (5)
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma... come passi dalla (2) alla (3)?
grazie
Pole
grazie
Pole
Prova ad impostare la seguente 'identità'...
$p/(sin p)= 1/(1-16*p^2+...)=a_0+a_1*p+a_2*p^2+...$ (1)
Da essa ricavi...
$(a_0+a_1*p+a_2*p^2+...)*(1-1/6*p^2+...)=1$ (2)
Da questa ricavi uno dopo l'altro $a_0$,$a_1$, $a_2$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$p/(sin p)= 1/(1-16*p^2+...)=a_0+a_1*p+a_2*p^2+...$ (1)
Da essa ricavi...
$(a_0+a_1*p+a_2*p^2+...)*(1-1/6*p^2+...)=1$ (2)
Da questa ricavi uno dopo l'altro $a_0$,$a_1$, $a_2$...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Nel caso dovessi calcolare il residuo di
$e^(1/z) / (1-z)$
in $z_0=0$ devo fare la serie di $e^(1/z)$ poi la serie di $1/ (1-z)$, ribaltare quest'ultima in modo da avere un polinomio del tipo $a_0+a_1 z+a_2 z^2 ...$ eseguire la moltiplicazione e guardare il termine $a_(-1)$?
correggimi se sbaglio
sentiti ringraziamenti
Pole
$e^(1/z) / (1-z)$
in $z_0=0$ devo fare la serie di $e^(1/z)$ poi la serie di $1/ (1-z)$, ribaltare quest'ultima in modo da avere un polinomio del tipo $a_0+a_1 z+a_2 z^2 ...$ eseguire la moltiplicazione e guardare il termine $a_(-1)$?
correggimi se sbaglio
sentiti ringraziamenti
Pole
Vale $1/(1-z)=1+z+z^2+z^3+ldots=sum_(k=0)^(+oo)z^k$, e $e^(1/z)=1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots=sum_(k=0)^(+oo) 1/(k!z^k)$.
Quindi $(e^(1/z))/(1-z)=1/(1-z)=(1+z+z^2+z^3+ldots)cdot(1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots)=(1+1/z+1/(2!z^2)+ldots)+(z+1+1/(2!z)+ldots)+(z^2+z+1/(2!)+1/(3!z)+ldots)+ldots$
Allora $Res[(e^(1/z))/(1-z),0]=sum_(k=1)^(+oo) 1/(k!) =e-1$.
Quindi $(e^(1/z))/(1-z)=1/(1-z)=(1+z+z^2+z^3+ldots)cdot(1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots)=(1+1/z+1/(2!z^2)+ldots)+(z+1+1/(2!z)+ldots)+(z^2+z+1/(2!)+1/(3!z)+ldots)+ldots$
Allora $Res[(e^(1/z))/(1-z),0]=sum_(k=1)^(+oo) 1/(k!) =e-1$.
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