Residuo

PoLe1
Ciao a tutti!

è da un po che ci penso, ma nn riesco a trovare conferma. come posso risolvere il seguente residuo in $z_0=0$:

$f(z)=1/(sin (1/z))

grazie

Pole

Risposte
Sk_Anonymous
La strada per arrivare a trovare il risultato è composta di diversi passaggi. Con la sostituzione $p=1/z$ si ottiene…

$f(z)=1/(sin(1/z))=1/(sin p)$ (1)

Ora è evidente che il residuo di $f(z)$ in $z=0$ altro non è che il coefficiente del termine di grado $1$ della serie di Laurent della funzione $f(p)=1/(sin p)$. Per trovarlo partiamo dallo sviluppo in serie di $(sin p)/p$…

$(sin p)/p= 1-1/6*p^2+…$ (2)

Da esso si ricava lo sviluppo dell’inverso…

$p/(sin p)= 1+1/6*p^2+…$ (3)

Da questo…

$1/(sin p) = 1/p*p/(sin p)= 1/p+1/6*p+…$ (4)

Dalla (4) si vede che chiaramente che il residuo in $z=0$ della fuznione da te data è…

$R_(z=0) [1/(sin(1/z))]= 1/6$ (5)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

PoLe1
forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua ma... come passi dalla (2) alla (3)?

grazie

Pole

Sk_Anonymous
Prova ad impostare la seguente 'identità'...

$p/(sin p)= 1/(1-16*p^2+...)=a_0+a_1*p+a_2*p^2+...$ (1)

Da essa ricavi...

$(a_0+a_1*p+a_2*p^2+...)*(1-1/6*p^2+...)=1$ (2)

Da questa ricavi uno dopo l'altro $a_0$,$a_1$, $a_2$...

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

PoLe1
Nel caso dovessi calcolare il residuo di

$e^(1/z) / (1-z)$

in $z_0=0$ devo fare la serie di $e^(1/z)$ poi la serie di $1/ (1-z)$, ribaltare quest'ultima in modo da avere un polinomio del tipo $a_0+a_1 z+a_2 z^2 ...$ eseguire la moltiplicazione e guardare il termine $a_(-1)$?

correggimi se sbaglio

sentiti ringraziamenti

Pole

elgiovo
Vale $1/(1-z)=1+z+z^2+z^3+ldots=sum_(k=0)^(+oo)z^k$, e $e^(1/z)=1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots=sum_(k=0)^(+oo) 1/(k!z^k)$.
Quindi $(e^(1/z))/(1-z)=1/(1-z)=(1+z+z^2+z^3+ldots)cdot(1+1/(1!z)+1/(2!z^2)+1/(3!z^3)+ldots)=(1+1/z+1/(2!z^2)+ldots)+(z+1+1/(2!z)+ldots)+(z^2+z+1/(2!)+1/(3!z)+ldots)+ldots$
Allora $Res[(e^(1/z))/(1-z),0]=sum_(k=1)^(+oo) 1/(k!) =e-1$.

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