Residui, piccola questione.

[rubik2]

Non dovrei avere questi dubbi però li ho

devo integrare $1/z^n$ $n in NN$ su una circonferenza che circonda l'origine, usando il teorema dei residui ottengo $int 1/z^n dz =0$ per ogni $n!=1$ (il coefficiente di $1/z$ è zero per ognuna di esse) e $int 1/z dz=2pi i$

giusto?

[ViciousGoblin]

"rubik":Non dovrei avere questi dubbi però li ho

devo integrare $1/z^n$ $n in NN$ su una circonferenza che circonda l'origine, usando il teorema dei residui ottengo $int 1/z^n dz =0$ per ogni $n!=1$ (il coefficiente di $1/z$ è zero per ognuna di esse) e $int 1/z dz=2pi i$

giusto?

Giusto (secondo me il teorema dei residui e' basato su questo fatto). Che l'integrale sia nullo per $n\ne 1$ deriva per esempio dal fatto che $1/z^n$ e' la derivata di $\frac{1}{(1-n)z^{n-1}}$.

[Ska1]

Sì, infatti applicando la definizione di integrale in campo complesso si ottiene
$\int_{C_R(0)} 1/z^n dz = \int_{0}^{2\pi} 1/(R^n e^{i*n*t}) * iR*e^{it} dt = i\int_0^{2\pi} 1/(R e^{it})^(n-1) dt$

Se $n=1$ allora si ottine $2\pi i$, se $n \ne 1$ allora si ha $i/R^(n-1) \int_0^{2\pi} e^{i(1-n)t} dt = i/R^(n-1) [(e^{i(1-n)t})/(i(1-n))]_0^{2\pi} = i/R^(n-1) [(e^{i2\pi(1-n)} - 1)/(i(1-n))] = 0$ per la periodicità dell'esponenziale complesso con esponente puramente immaginario.

[elgiovo]

"ViciousGoblin":
Giusto (secondo me il teorema dei residui e' basato su questo fatto).

E' proprio così. Si chiamano residui perché sono gli unici a contare nell'integrale dopo aver sviluppato la funzione integranda in serie di potenze inverse.

[rubik2]

Grazie