Residui con funzioni trascendenti
Salve a tutti. In questi giorni sto provando ad approfondire meglio il calcolo dei residui nei poli, ma ho alcuni dubbi.
Infatti, so che per i poli del primo ordine esistono ben 3 formule per calcolarli, cioè quella della derivata del denominatore, quella classica del limite e quella della funzione analitica al numeratore.
Per i poli di ordine superiore, oltre alla formula del limite con la derivata, ho visto soltanto una dove serve l'esplicitazione della funzione analitica al numeratore, ma spesso è impossibile. Quindi ho dei dubbi su alcuni tipi di funzioni che presentano poli multipli al denominatore: le funzioni trascendenti (sin, log).
Infatti, se non fossero elevate a qualcosa, avrei dei poli semplici facilmente getibili con una delle formule del residuo al primo ordine, ma quando ho cose del tipo $ 1/(sin^3(z)) $ o $ 1/(log^2(z)) $ non so come procedere. Infatti, ho provato sia a vedere la funzione analitica come 1 e quindi derivarla, ma così il residuo è sempre nullo, oppure ho provato ad applicare la formula del limite, ma le derivate di ordine elevato sono toste e spesso non si riesce ad averealtro risultato che non sia zero. Inoltre vorrei anche provare a sviluppare con laurent, ma non ho per nulla capito come si fa a trovare lo sviluppo quando tali funzioni sono al denominatore (forse non ho proprio capito come trovare uno sviluppo di laurent...). Quindi, spero che qualcuno riesca a chiarire i miei dubbi, in ogni caso grazie in anticipo!
Infatti, so che per i poli del primo ordine esistono ben 3 formule per calcolarli, cioè quella della derivata del denominatore, quella classica del limite e quella della funzione analitica al numeratore.
Per i poli di ordine superiore, oltre alla formula del limite con la derivata, ho visto soltanto una dove serve l'esplicitazione della funzione analitica al numeratore, ma spesso è impossibile. Quindi ho dei dubbi su alcuni tipi di funzioni che presentano poli multipli al denominatore: le funzioni trascendenti (sin, log).
Infatti, se non fossero elevate a qualcosa, avrei dei poli semplici facilmente getibili con una delle formule del residuo al primo ordine, ma quando ho cose del tipo $ 1/(sin^3(z)) $ o $ 1/(log^2(z)) $ non so come procedere. Infatti, ho provato sia a vedere la funzione analitica come 1 e quindi derivarla, ma così il residuo è sempre nullo, oppure ho provato ad applicare la formula del limite, ma le derivate di ordine elevato sono toste e spesso non si riesce ad averealtro risultato che non sia zero. Inoltre vorrei anche provare a sviluppare con laurent, ma non ho per nulla capito come si fa a trovare lo sviluppo quando tali funzioni sono al denominatore (forse non ho proprio capito come trovare uno sviluppo di laurent...). Quindi, spero che qualcuno riesca a chiarire i miei dubbi, in ogni caso grazie in anticipo!
Risposte
"Firefox95":
Ciao, da studente come te userei lo sviluppo del seno e del logaritmo per vedere di che ordine è il polo.
Nel caso di seno,coseno,logaritmo,esponenziale puoi usare gli sviluppi di Taylor notevoli e otterrai facilmente l'ordine del polo...
Non so, mi pare evidente che, usando la definizione, siano poli di ordine 2 e 3 rispettivamente, infatti anche nello sviluppo di taylor il primo termine è un termine di primo grado (z per il seno, (z-1) per il logaritmo), quindi non so proprio come procedere per trovare il residuo...
"Firefox95":
Non so, mi pare evidente che, usando la definizione, siano poli di ordine 2 e 3 rispettivamente, infatti anche nello sviluppo di taylor il primo termine è un termine di primo grado (z per il seno, (z-1) per il logaritmo), quindi non so proprio come procedere per trovare il residuo...
Se non sbaglio tu devi fare lo stesso esame che devo fare io, con lo stesso professore.
Mhm... Io direi comunque che il seno ha un polo all'origine di ordine 3, mentre il logaritmo ha un polo in 1 di ordine 2...
Ma fin qui ci siamo, il problema è calcolare il residuo
"Firefox95":
Ma fin qui ci siamo, il problema è calcolare il residuo
Sicuro che si deve calcolare il residuo nei punti in cui si sono trovati i poli?
Non si potrebbe pensare di calcolare il residuo all'infinito così da ottenere 0 per entrambe le funzioni?
Non è un esercizio, sono dubbi miei, voglio calcolare io il residuo in 1 per il log e in 0 per il sin. Wolfram dice che non sono nulli.
"Firefox95":
Non è un esercizio, sono dubbi miei, voglio calcolare io il residuo in 1 per il log e in 0 per il sin. Wolfram dice che non sono nulli.
Non riesco ad usare wolfram, quanto ti dice che vengono i residui in quei punti?
1 e 1/2
io direi di aspettare qualcuno che ne sa un pochetto più di noi.
io direi di aspettare qualcuno che ne sa un pochetto più di noi.
Si può calcolare direttamente la seri di laurent.
Facciamo per esempi $ 1/(sin^3(z)) $.
$1/sin^3(z) = (1/sin(z))^3$
basta ora calcolarsi la serie di laurent di $1/sin(z)$, che direi essere:
$1/x (\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)x^{2n})^k) = 1/x[1+(1/6x^2+...)+(1/6x^2+...)^2+(1/6x^2+...)^3+...]$
Elevando tutto alla terza si ottiene
$1/x^3[1+(1/6x^2+...)+(1/6x^2+...)^2+(1/6x^2+...)^3+...]^3$
a noi interessa il coefficente di $1/x$ che è $1/2$.
Facciamo per esempi $ 1/(sin^3(z)) $.
$1/sin^3(z) = (1/sin(z))^3$
basta ora calcolarsi la serie di laurent di $1/sin(z)$, che direi essere:
$1/x (\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)x^{2n})^k) = 1/x[1+(1/6x^2+...)+(1/6x^2+...)^2+(1/6x^2+...)^3+...]$
Elevando tutto alla terza si ottiene
$1/x^3[1+(1/6x^2+...)+(1/6x^2+...)^2+(1/6x^2+...)^3+...]^3$
a noi interessa il coefficente di $1/x$ che è $1/2$.
"Wilde":
Si può calcolare direttamente la seri di laurent.
Facciamo per esempi $ 1/(sin^3(z)) $.
$1/sin^3(z) = (1/sin(z))^3$
basta ora calcolarsi la serie di laurent di $1/sin(z)$, che direi essere:
$1/x (\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)x^{2n})^k) = 1/x[1+(1/6x^2+...)+(1/6x^2+...)^2+(1/6x^2+...)^3+...]$
Elevando tutto alla terza si ottiene
$1/x^3[1+(1/6x^2+...)+(1/6x^2+...)^2+(1/6x^2+...)^3+...]^3$
a noi interessa il coefficente di $1/x$ che è $1/2$.
Innanzitutto grazie per la risposta, ma avrei ancora un paio di domande:
!) Dove sta il coefficiente 1/2?
2) come faccio a calcolare lo sviluppo di $1/sin(z)$ partendo da quello di $sin(z)$ ? A lezione non abbiamo mai trattato una cosa simile, so solo gli "sviluppi notevoli"...
Sviluppiamo in serie di laurent $1/sin(z)$ in un intorno di 0.
sappiamo che
$sin(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/((2n+1)!)z^{2n+1} $
raccogliendo la z si ottiene
$= z(1+ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/((2n+1)!)z^{2n} ) = z(1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} )$
Allora abbiamo che
$1/sin(z) = 1/z 1/((1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} ))$
e $(\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} )$ calcolato in 0 fa 0.
Allora usando $1/(1-x) = \sum_{k=0}^\infty x^k$ si ottiene che
$1/((1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} )) = (\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n})^k)$
Allora abbiamo che
$1/sin(z) = 1/z 1/((1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} ))=$
$= 1/z (\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n})^k) = 1/z[1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...] $
Capita spesso di dover sviluppare cose analoghe $1/f(x)$ e spesso si ci riconduce a usare la serie geometrica come in questo caso. (Si ovviamente non abbiamo ottenuto la serie di Laurent, perchè non è nella forma corretta, ma dato che noi interessa solo il residuo ci basterà individuare il coefficiente di $1/z$)
........................
........................
Ora se vogliamo calcolare residuo di $1/sin^3(z)$ si ha che
$1/sin^3(z) = 1/z^3[1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...]^3 $
Allora basta calcolare il coefficiente di $z^2$ di $[1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...]^3 $ così che moltiplicati con $1/z^3$ viene propio $1/z$.
Il coefficiente di $z^2$ è propio $1/2$.
sappiamo che
$sin(z) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/((2n+1)!)z^{2n+1} $
raccogliendo la z si ottiene
$= z(1+ \sum_{n=0}^\infty (-1)^n/((2n+1)!)z^{2n} ) = z(1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} )$
Allora abbiamo che
$1/sin(z) = 1/z 1/((1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} ))$
e $(\sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} )$ calcolato in 0 fa 0.
Allora usando $1/(1-x) = \sum_{k=0}^\infty x^k$ si ottiene che
$1/((1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} )) = (\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n})^k)$
Allora abbiamo che
$1/sin(z) = 1/z 1/((1- \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n} ))=$
$= 1/z (\sum_{k=0}^\infty(\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}/((2n+1)!)z^{2n})^k) = 1/z[1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...] $
Capita spesso di dover sviluppare cose analoghe $1/f(x)$ e spesso si ci riconduce a usare la serie geometrica come in questo caso. (Si ovviamente non abbiamo ottenuto la serie di Laurent, perchè non è nella forma corretta, ma dato che noi interessa solo il residuo ci basterà individuare il coefficiente di $1/z$)
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Ora se vogliamo calcolare residuo di $1/sin^3(z)$ si ha che
$1/sin^3(z) = 1/z^3[1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...]^3 $
Allora basta calcolare il coefficiente di $z^2$ di $[1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...]^3 $ così che moltiplicati con $1/z^3$ viene propio $1/z$.
Il coefficiente di $z^2$ è propio $1/2$.
Sei stato gentilissimo e chiarissimo, grazie mille! Ovviamente queste cose non erano mai uscite ai compiti, al massimo il residuo di 1/sin(z), che però è facile utilizzando le varie formule... solo che avevo questo dubbio e, come immaginavo, un simile sviluppo non è per nulla banale...
PS io però vedo 1/6 come coefficiente di 1/z^2 ... c'è qualcosa che non ho considerato?
PS io però vedo 1/6 come coefficiente di 1/z^2 ... c'è qualcosa che non ho considerato?
Attento, tutta la funzione dentro le parentesi quadre è elevata alla terza...
Se non ti risulta ancora chiaro dimmelo che te lo faccio vedere meglio ( è che sono un po' pigro).
Comunque mi sembra strano che non sia mai capitato perchè è abbastanza standard come procedimento.
Se non ti risulta ancora chiaro dimmelo che te lo faccio vedere meglio ( è che sono un po' pigro).
Comunque mi sembra strano che non sia mai capitato perchè è abbastanza standard come procedimento.
Diciamo che nel mio percorso di studi non è stato mai affrontato a dovere il discorso sulle serie in generale, frequento ingegneria informatica e purtroppo i corsi di analisi non sono ben approfonditi. In ogni caso lo so che è elevato alla terza, ma così 1/6 alla terza non è (1/6)^3? So di aver detto qualcosa di profano ma non riesco a far uscire questo 1/2 vicino z^2...
si ma anche $z^2$ diventa $z^6$ quindi quel coefficiente non ci interessa.
Ora io userei per essere sicuro di non sbagliare (dal punto di vista formale) le definizione di prodotto di due serie ( noi in particolare abbiamo un elevato alle terza, cioè il prodotto di tre serie (uguali)) ma non voglio farla troppo lunga.
Noi sappiamo che $(x+y)^3=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2$.
Usiamo la stessa "formula" in questo caso $ [1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...]^3 $
otteniamo il cubo di ogni elemento che però non darà mai monomi con $z^2$.
quindi guardiamo i tripli prodotti e ci accorgiamo che l'unico triplo prodotto che da un monomio con $z^2$ è
$3(1^2)(1/6z^2+...)=1/2z^2+...$ "(per facilitare considera (1/6z^2+...) tutto un termine)"
allora residuo $1/2$
Ora io userei per essere sicuro di non sbagliare (dal punto di vista formale) le definizione di prodotto di due serie ( noi in particolare abbiamo un elevato alle terza, cioè il prodotto di tre serie (uguali)) ma non voglio farla troppo lunga.
Noi sappiamo che $(x+y)^3=x^3+y^3+3x^2y+3xy^2$.
Usiamo la stessa "formula" in questo caso $ [1+(1/6z^2+...)+(1/6z^2+...)^2+(1/6z^2+...)^3+...]^3 $
otteniamo il cubo di ogni elemento che però non darà mai monomi con $z^2$.
quindi guardiamo i tripli prodotti e ci accorgiamo che l'unico triplo prodotto che da un monomio con $z^2$ è
$3(1^2)(1/6z^2+...)=1/2z^2+...$ "(per facilitare considera (1/6z^2+...) tutto un termine)"
allora residuo $1/2$
Ok, ora è tutto limpido! Grazie mille!
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