Relazioni elementari
Ciao.
Vorrei sapere se può esistere una relazione tra elementi di uno stesso insieme che non goda né della proprietà riflessiva né di quella antiriflessiva. Può esistere? Nel caso, a me non viene nessun esempio...
In sostanza chiedo: il fatto che una relazione non goda della proprietà riflessiva implica che goda di quella antiriflessiva?
Grazie.
Vorrei sapere se può esistere una relazione tra elementi di uno stesso insieme che non goda né della proprietà riflessiva né di quella antiriflessiva. Può esistere? Nel caso, a me non viene nessun esempio...
In sostanza chiedo: il fatto che una relazione non goda della proprietà riflessiva implica che goda di quella antiriflessiva?
Grazie.
Risposte
Sì, può esistere; prendi la relazione vuota su un insieme non vuoto.
Nella maniera più assoluta no.
il fatto che una relazione non goda della proprietà riflessiva implica che goda di quella antiriflessiva?
Nella maniera più assoluta no.
"killing_buddha":
Sì, può esistere; prendi la relazione vuota su un insieme non vuoto.
il fatto che una relazione non goda della proprietà riflessiva implica che goda di quella antiriflessiva?
Nella maniera più assoluta no.
Chiedo scusa per l'ignoranza, non so cosa sia la relazione vuota. Non si potrebbe fare un esempio più intuitivo?
In ogni caso grazie.
La relazione vuota tra due insiemi è l'insieme vuoto \(\varnothing \subseteq A\times B\). Questa chiaramente non è una relazione riflessiva né antiriflessiva.
"killing_buddha":
La relazione vuota tra due insiemi è l'insieme vuoto \(\varnothing \subseteq A\times B$. Questa chiaramente non è una relazione riflessiva né antiriflessiva.
Credo di aver capito.
Forse ho trovato un esempio io:
Se all'interno di $NN$ definisco la relazione "essere divisibile per", non dovrebbe essere né riflessiva né antiriflessiva, giusto?
Non è riflessiva perché $0$ non è divisibile per se stesso, non è antiriflessiva perchè tutti elementi di $NN$ eccetto $0$ sono divisibili per se stessi. Ho capito bene?
E' riflessiva. $0\times 0=0$.
"killing_buddha":
E' riflessiva. $0\times 0=0$.
Ma come? $0$ non è divisibile per se stesso, cioè per $0$ no?
Va bene non sapere niente, ma la tabellina dello zero vorrei poterla dare come assodata 
"killing_buddha":
Va bene non sapere niente, ma la tabellina dello zero vorrei poterla dare come assodata
Dividere $0$ per se stesso non vuol dire fare $0*1/0$? Ma $1/0$ è una scrittura che non ha senso...Mi sono perso qualcosa?
Forse è riflessiva solo se definisci $a/b$ come soluzione dell' equazione $bx-a=0$.
In un anello commutativo, $a$ e' divisibile per $b$ se $a=kb$ per qualche $k$.
Con questa definizione zero e' divisibile per zero (e per ogni altro numero).
Con questa definizione zero e' divisibile per zero (e per ogni altro numero).
"killing_buddha":
In un anello commutativo, $a$ e' divisibile per $b$ se $a=kb$ per qualche $k$.
Con questa definizione zero e' divisibile per zero (e per ogni altro numero).
Immaginavo fosse questione di definizione dell'operazione di divisione.
Allora prendiamo la mia definizione di divisione
, la relazione non è né riflessiva né antiriflessiva giusto?
"AnalisiZero":
[quote="killing_buddha"]In un anello commutativo, $a$ e' divisibile per $b$ se $a=kb$ per qualche $k$.
Con questa definizione zero e' divisibile per zero (e per ogni altro numero).
Immaginavo fosse questione di definizione dell'operazione di divisione.
Allora prendiamo la mia definizione di divisione
, la relazione non è né riflessiva né antiriflessiva giusto?[/quote]Cosa ti fa pensare che esistano due definizioni di divisibilita' (la divisione e' un'operazione: la divisibilita' e' una relazione), la mia e la tua?
E cosa hai contro la relazione vuota? Quella non e' simmetrica, perche' non contiene la diagonale, e non e' antisimmetrica, perche' non contiene elementi.
Del resto costruire relazioni che non sono simmetriche ne' antisimmetriche' e' facile. Prendi i numeri interi e prendi la relazione \(R = \{(x,y)\mid x \neq 7\}\). Questa relazione non e' simmetrica, perche' \((7,7)\notin R\), e non e' antisimmetrica, perche' se $(x,y)$ , $(y,x)$ stanno entrambi in $R$, nessuno dei due e' 7, e pero' chi ti assicura che siano uguali?
Quell'esempio sui numeri naturali lo puoi trovare nel testo di algebra 1 proprio su questo sito nel capitolo sulle relazioni riflessive.
Riguardo divisione e divisibilità ti dico ciò che so:
La divisione tra $a$ e $b$ come dici tu è un'operazione e può essere definita nei due modi che avevo scritto nel post precedente.
Invece $a$ è divisibile per $b$ se e solo se il risultato della divisione tra $a$ e $b$ è un numero intero. Quindi si può definire in due modi la divisione ma la divisibilità è una relazione come dici. Correggimi se sbaglio.
Riguardo divisione e divisibilità ti dico ciò che so:
La divisione tra $a$ e $b$ come dici tu è un'operazione e può essere definita nei due modi che avevo scritto nel post precedente.
Invece $a$ è divisibile per $b$ se e solo se il risultato della divisione tra $a$ e $b$ è un numero intero. Quindi si può definire in due modi la divisione ma la divisibilità è una relazione come dici. Correggimi se sbaglio.
Rispondo alla domanda.
Prendi l'insieme i cui elementi sono 1 e 2.
Considera la seguente relazione: 1 è in relazione con 1. Altri elementi in relazione non ce ne sono.
Questa relazione non è riflessiva (il 2 scappa), e neanche antiriflessiva (1 è in relazione con se stesso).
Prendi l'insieme i cui elementi sono 1 e 2.
Considera la seguente relazione: 1 è in relazione con 1. Altri elementi in relazione non ce ne sono.
Questa relazione non è riflessiva (il 2 scappa), e neanche antiriflessiva (1 è in relazione con se stesso).
"Fioravante Patrone":
Rispondo alla domanda.
Prendi l'insieme i cui elementi sono 1 e 2.
Considera la seguente relazione: 1 è in relazione con 1. Altri elementi in relazione non ce ne sono.
Questa relazione non è riflessiva (il 2 scappa), e neanche antiriflessiva (1 è in relazione con se stesso).
Questa non solo non è riflessiva o antiriflessiva, non è neanche una relazione, se non sbaglio.
Una relazione in un insieme è un predicato binario che si riferisce a due argomenti che appartengono allo stesso insieme. In questo caso quali sono gli argomenti, se 1 e 1 fanno parte del predicato binario? Questa è la definizione che conosco io...
Oh, finalmente abbiamo capito che non ti è chiara la definizione!
Una relazione su $A$ è un sottoinsieme di $A\times A$.
Una relazione su $A$ è un sottoinsieme di $A\times A$.
"killing_buddha":
Oh, finalmente abbiamo capito che non ti è chiara la definizione!
Una relazione su $A$ è un sottoinsieme di $A\times A$.
In realtà sapevo che questa è una conseguenza della definizione, cioè con le coppie ordinate di argomenti tra loro in relazione possiamo formare un insieme della relazione che ha come elementi queste coppie ordinate, che risultano essere sottoinsieme del prodotto cartesiano dell'insieme con se stesso.
Ma allora Fioravante Patrone intendeva dire forse: prendiamo l'insieme ${1,2}$ e l'insieme della relazione ${(1,1)}$. In questo modo tutto risulta più chiaro
.Allora si, non è né riflessiva né antiriflessiva. Ora ho capito? Grazie per l'aiuto.
"AnalisiZero":
...
Ma allora Fioravante Patrone intendeva dire forse: prendiamo l'insieme ${1,2}$ e l'insieme della relazione ${(1,1)}$. In questo modo tutto risulta più chiaro
...
Avevo cominciato a scrivere le mie memorie, che pensavo di intitolare "Incompreso", ma dopo questo post ho deciso di smettere.
Sì, intendevo quello.
Quanto alla contesa su cosa sia una relazione, c'è chi dice che quella indicata da killing_budda sia la versione estensionale, e la "tua" invece quella intensionale. Aspetti che potrai approfondire a tempo debito, se vorrai. Quello che mi sembra ti serva di più "ora" è una maggiore flessibilità. Leggiucchia qualche altro libro, per integrare il catechismo ricevuto a lezione con una visione più ampia, meno "dogmatica".
In ogni caso ho avuto la risposta alla domanda del post iniziale. Grazie mille a entrambi per l'aiuto.
Propongo un ulteriore esempio, che ho usato in primo superiore.
Considera un insieme non vuoto $U$, ad esempio $U=\{ 1,2,3\}$, e scegli un suo elemento $c$, per esempio $c=1$.
Nell'insieme delle parti di $U$, ossia:
\[
\mathcal{P}(U) =\Big\{
\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, U
\Big\}
\]
considera la relazione binaria $\mathfrak{R}$ definita come segue:
\[
A\mathfrak{R} B\quad\Leftrightarrow\quad c\in A\cap B\; ,
\]
o, se vuoi dirlo meglio, considera:
\[
\mathfrak{R}=\Big\{(A,B)\in \mathcal{P}(U)\times \mathcal{P}(U) :\ c\in A\cap B\Big\}\; .
\]
La relazione $\mathfrak{R}$ non è né riflessiva, perché \(\varnothing \not\mathfrak{R} \varnothing\), né antiriflessiva, poiché \(\{c\}\mathfrak{R} \{c\}\).
Inoltre, puoi divertirti a provare a che $\mathfrak{R}$ è simmetrica, non è antisimmetrica e neanche transitiva a parte nel caso in cui $U$ ha un solo elemento.
Considera un insieme non vuoto $U$, ad esempio $U=\{ 1,2,3\}$, e scegli un suo elemento $c$, per esempio $c=1$.
Nell'insieme delle parti di $U$, ossia:
\[
\mathcal{P}(U) =\Big\{
\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}, U
\Big\}
\]
considera la relazione binaria $\mathfrak{R}$ definita come segue:
\[
A\mathfrak{R} B\quad\Leftrightarrow\quad c\in A\cap B\; ,
\]
o, se vuoi dirlo meglio, considera:
\[
\mathfrak{R}=\Big\{(A,B)\in \mathcal{P}(U)\times \mathcal{P}(U) :\ c\in A\cap B\Big\}\; .
\]
La relazione $\mathfrak{R}$ non è né riflessiva, perché \(\varnothing \not\mathfrak{R} \varnothing\), né antiriflessiva, poiché \(\{c\}\mathfrak{R} \{c\}\).
Inoltre, puoi divertirti a provare a che $\mathfrak{R}$ è simmetrica, non è antisimmetrica e neanche transitiva a parte nel caso in cui $U$ ha un solo elemento.
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