Relazioni di equivalenza per succ. di Cauchy e non solo!

[Gianmaster08]

Dateci un'occhiatina...si accettano volentieri suggerimenti!

1. L’insieme {Ai : i appartiene I} costituisce una partizione dell’insieme A se l'unione degli Ai per gli i che appartengono ad I è uguale ad A e, se i diversi da j, allora l'intersezione di Ai e Aj è l'insieme vuoto.
Data la partizione {Ai : i appartiene I} di A, definiamo la reazione ~ su A tramite: a ~ b se e solo se a e b appartengono allo stesso elemento della partizione, cioè esiste un indice i appartenente ad I tale che a, b appartengono ad Ai.
Dimostrare che ~ è una relazione di equivalenza.
2. Dare un esempio di operazione o relazione nell’insieme dei razionali che NON sia ben
definita.
3. Usando la definizione di campo ordinato dimostrare che l’elemento neutro per la
somma è unico.
4. Dimostrare con un controesempio che la coppia (xn), (yn) di successioni di Cauchy
corrispondente ad una sezione (X, Y ) in base alla Proposizione 1.6 non è unica.

Proposizione 1.6
Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (xn) e (yn) diCauchy tali che, per ogni n appartenente ad N, xn appartenente ad X, yn appartenente ad Y , e yn − xn =1/n

[miuemia]

la 1) mi sembra abbastanza ovvia... in quanto $a$ è in relazione ovviamente con se stesso e se $a$ è in relazione con $b$ allora anche $b$ lo è con $a$.. e poi la transitività risulta immediato in quanto se $a,b\in A_i$ e $b,c\in A_j$ allora vuol dire che $A_i=A_j$ in qunato se due elementi della partizione hanno un elemento in comune coincidono e quindi $a,c\in A_i$ e quindi $a$ è in relzione con $c$...
poi nn capisco cosa intendi per sezione e per operazione ben definita.
sull'unicità dell'elemento neutro per la somma... beh supponi che per assurdo ve ne siano due e dimostra che in realtà sono gli stessi.
cioa ciao

[Martino]

Ecco un magnifico esempio di operazione mal definita su $QQ$ (la indico con $vee$): $a/b vee c/d = (a+c)/(b+d)$

[gugo82]

"Jean-Paul":
2. Dare un esempio di operazione o relazione nell’insieme dei razionali che NON sia ben
definita.

L'esempio dato da Martino funziona bene.
Ricorda che un'operazione in $QQ$ che sia ben definita deve dare lo stesso risultato per tutte le frazioni che rappresentano i numeri razionali coinvolti.

"Jean-Paul":
3. Usando la definizione di campo ordinato dimostrare che l’elemento neutro per la
somma è unico.

Beh qui basta anche la sola definizione di campo, l'ordine c'entra poco e niente: in particolare ti serve applicare l'esistenza dell'opposto e la commutatività della somma.

"Jean-Paul":
4. Dimostrare con un controesempio che la coppia (xn), (yn) di successioni di Cauchy
corrispondente ad una sezione (X, Y ) in base alla Proposizione 1.6 non è unica.

Proposizione 1.6
Data una sezione (X, Y ) in Q, esistono due successioni (xn) e (yn) diCauchy tali che, per ogni n appartenente ad N, xn appartenente ad X, yn appartenente ad Y , e yn − xn =1/n

@miuemia: una sezione è una coppia ordinata $(X,Y)$ di parti di $QQ$ tali che $XleY$, $X cup Y=QQ$ e $X$ non ha massimo (esempi di insiemi che generano sezioni: $X_1={p in QQ:quad p<1/2}$ e $Y_1={p in QQ:quad pge 1/2}$; $X_2={p in QQ: quad ple 0} cup {p in QQ: quad p>0 " e " p^2<2}$ ed $Y_2={p in QQ: quad p>0 " e " p^2ge2}$). La costruzione di Dedekind di $RR$ da $QQ$ si fa identificando ogni sezione di $QQ$ con un nuovo oggetto: l'insieme di tali oggetti può essere dotato della struttura di campo ordinato continuo archimedeo ed è difatto un modello dell'insieme $RR$.


Per la dimostrazione, ti basta tenere presente che i due insiemi $X,Y$ sono contigui, che $QQ$ è denso in sé e che perciò puoi scegliere due coppie di successioni $(x_n), (xi_n) subset X$ e $(y_n),(eta_n) subset Y$ le quali abbiano come p.d.a. rispettivamente $"sup" X$ ed $"inf" Y$, che siano di Cauchy e tali che $y_n-x_n=1/n=eta_n-xi_n$ (per costruire il tuo controesempio potresti usare la sezione $(X_1,Y_1)$, dove $X_1,Y_1$ sono gli insiemi definiti poco più sopra).

Buono studio.