Relazioni d'equivalenza

[Danielee97]

Non ho capito bene questo esercizio all'università e non riesco a fare gli esercizi: Sia X = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, data la relazione R su X definita da aRb↔a+b è pari, verificare che si tratta di una relazione d'equivalenza e determinare l'insieme quoziente X/R.

[charliebrown_]

Ciao Daniele!
Sono una studentessa di matematica.
Ti spiego:
Nel caso che ci presenti, la relazione R è definita come: presi due elementi a e b in X (l'insieme da te scritto), a+b è pari, cioè a+b=2k, perché un numero è pari se è divisibile per 2, quindi lo scriviamo come multiplo di 2 (con k preso negli interi).

Una relazione si dice di equivalenza se valgono le seguenti proprietà: (riflessiva, simmetrica e transitiva)

1-Riflessiva: qualunque sia a preso in X, aRa se e solo se a+a=2k. Ma a+a=2a che è un numero pari, quindi è verificata la proprietà.

2-Simmetrica: qualunque siano a e b presi in X, aRb se e solo se bRa, cioè che b+a=2h, con h preso sempre negli interi. Ma se prendi due elementi in X, per esempio 2 e 3, vedi che 2+3=5 che è diverso da un numero pari. Quindi, utilizzando un controesempio, abbiamo verificato che la proprietà simmetrica non vale se scegliamo due qualsiasi elementi di X (e la definizione ci dice proprio che le proprietà devono valere per qualunque elemento preso dell'insieme scelto).
Quindi la relazione non è simmetrica e quindi neanche di equivalenza.

[ciampax]

Charliebrown, mi sa che stai cannando un po' le definizioni.
Vediamo di fare chiarezza.

Una relazione è riflessiva se ogni elemento risulta in relazione con se stesso, e questo va bene.

Una riflessione risulta simmetrica quando, se a è in relazione con b, allora anche b è in relazione con a: per come la definisci tu, invece, pare che debba valere in assoluto con tutti gli elementi e questo è errato.

Infine, una relazione è transitiva se, nel caso in cui a sia in relazione con b, e b in relazione con c, allora pure a risulta in relazione con c.

Ora, guardiamo l'esercizio:
1) riflessività: poiché la somma di un numero con se stesso è sempre pari, in quanto

[math]a+a=2a[/math]

, la relazione è riflessiva;

2) simmetria: se sappiamo che

[math]a+b=2h[/math]

(perché

[math]a\mathcal{R} b[/math]

) allora, per commutatività dell'addizione, si ha

[math]b+a=2h[/math]

, da cui

[math]a\mathcal{R} a[/math]

e quindi la proprietà simmetrica;

3) transitività: se sappiamo che

[math]a+b=2h,\ b+c=2k[/math]

allora risulta

[math]a+c=2h-b+2k-b=2h+2k-2b=2(h+k-b)[/math]

e dal momento che non ci sono limitazioni alla scelta dei valori, risulta che a è in relazione con c.


Detto questo, è facile osservare che le classi di equivalenza sono soltanto due: infatti, per ottenere un numero pari, è necessario sommare tra loro due numeri pari oppure due numeri dispari. Ne segue che puoi suddividere l'insieme dato nei due sottoinsiemi seguenti che rappresentano le classi di equivalenza

[math][2]=\{2,4,6\}\qquad \qquad [3]=\{3,5,7\}[/math]