Relazione tra differenziabilità e continuità..in 2 variabili
Ragazzi salve, volevo chiedervi di potermi spiegare la relazione tra la differenziabilità e la continuità in funzioni a 2 variabili. Per esempio per funzione ad una sola variabile la derivabilità implica la continuità, ma in due variabili?
Purtroppo sul libri di Analisi 1 questa roba non c'è, posso dirvi che una funzione si dice differenziabile in un punto se essa può essere approssimata da una trasformazione lineare nel punto.
Mentre la funzione è continua in $(x_0,y_0)$ $\in D$ se $\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$
Ragazzi anche in maniera molto semplice e intuitiva a parole...grazie mille!
Purtroppo sul libri di Analisi 1 questa roba non c'è, posso dirvi che una funzione si dice differenziabile in un punto se essa può essere approssimata da una trasformazione lineare nel punto.
Mentre la funzione è continua in $(x_0,y_0)$ $\in D$ se $\lim_{(x,y)->(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0)$
Ragazzi anche in maniera molto semplice e intuitiva a parole...grazie mille!
Risposte
Se $f : RR^n -> RR$ è differenziabile in un punto, allora è ivi continua.
E' una banale conseguenza della formula di approssimazione lineare...
E' una banale conseguenza della formula di approssimazione lineare...
"Seneca":
Se $f : RR^n -> RR$ è differenziabile in un punto, allora è ivi continua.
E' una banale conseguenza della formula di approssimazione lineare...
perfetto...e perchè la differenziabilità implica la derivabilità? e quest'ultima non implica la continuità in 2 variabili? la derivabilità in 2 variabili ha senso giusto?
Qual è la definizione di "derivabilità" per una funzione di più variabili che hai studiato?
Il prof ci ha detto che il rapporto incrementale qui non ha senso e ha definito le derivate parziali:
$\lim_{x->x_0} \frac{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x - x_0} = f_x (x_0,y_0)$
Stessa cosa per la derivata parziale rispetto a $y$ niente di più...poi abbiamo fatto il teorema del differenziale...ah e le derivate direzionali..
$\lim_{x->x_0} \frac{f(x,y_0) - f(x_0,y_0)}{x - x_0} = f_x (x_0,y_0)$
Stessa cosa per la derivata parziale rispetto a $y$ niente di più...poi abbiamo fatto il teorema del differenziale...ah e le derivate direzionali..
Il fatto che esistano tutte le derivate parziali (che credo sia ciò che tu intendi per "derivabilità") non è una condizione sufficiente a garantire la continuità. Penso su qualsiasi libro tu possa trovare un controesempio.
Serve il teorema del differenziale totale per avere una condizione sufficiente per la differenziabilità di una funzione in un punto, ma tra le ipotesi serve che le derivate parziali esistano e siano tutte continue nel punto in esame.
Serve il teorema del differenziale totale per avere una condizione sufficiente per la differenziabilità di una funzione in un punto, ma tra le ipotesi serve che le derivate parziali esistano e siano tutte continue nel punto in esame.
"Seneca":
Il fatto che esistano tutte le derivate parziali (che credo sia ciò che tu intendi per "derivabilità") non è una condizione sufficiente a garantire la continuità. Penso su qualsiasi libro tu possa trovare un controesempio.
Serve il teorema del differenziale totale per avere una condizione sufficiente per la differenziabilità di una funzione in un punto, ma tra le ipotesi serve che le derivate parziali esistano e siano tutte continue nel punto in esame.
grazie seneca..ma il mio concetto di derivabilità è errato?
Io, quando l'ho studiata, non l'ho chiamata derivabilità; tutto qui...
"Seneca":
Io, quando l'ho studiata, non l'ho chiamata derivabilità; tutto qui...
perfetto allora...ti ringrazio!
Questo post mi è servito per l'orale...grazie Seneca! 
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