Relazione tra derivailità e convergenza.

[galles90]

Buongiorno,
ho la seguente proposizione,, che dimostra quando una successione definita come nel punto 1. sia convergente, ovviamente, ci sono vari passaggi che non mi sono molto chiari, vi riporto quanto scritto sulla dispensa:

Considero la successione
$f:I to I $
1. $u_o in I, \ qquad u_(n+1)=f(u_n)$.
Prop. Se $f$ derivabile e $|f'| le L<1 \ qquad x in I= [a,b]$, allora la successione al punto 1. è convergente.

Dimostrazione:

Per il teorema di Lagrange e per il punto 1. si ha $|u_(n+1)-u_n|=|f(u_n)-f(u_(n-1))|=|f'(c_n)||u_n-u_(n-1)|$,
con $c_n$ compreso $u_n, u_(n-1)$. Per ipotesi si ha $|u_(n+1)-u_n| le L |u_n-u_(n-1)|$, quindi induttivamnete si ha
$|u_(n+1)-u_n| le L^n |u_1-u_0|$.

La dimostrazione continua, il punto che non mi è molto chiaro è l'ultima relazione, cioè come faccio ad avere induttivamnete quanto scritto, sarà una banalità, ma non mi torna.

Ciao

[gugo82]

Al secondo membro c’è $L^n |u_1 - u_0|$.

[galles90]

Si, l'ho corretta.
Si ha, se $0 cioè verificare che $|u_1-u_0|le |u_n-u_(n-1)|$ ?

[gugo82]

Non ti serve a nulla quello che hai scritto.

Fatti una dimostrazione per induzione.

[galles90]

gugo82,

quindi dobbiamo ragionare cosi " almeno credo", sia:
$|u_(n+1)-u_n|le L|u_n-u_(n-1)|$ per induzione dobbiamo verificare $|u_(n+1)-u_n|le L^n|u_1-u_0|$.
Verifico che è vera per $n=1$, quindi $|u_2-u_1|le L|u_1-u_0|$, la quale è vera.
Per cui supposta vera la relazione

$|u_(n+1)-u_n|le L^n|u_1-u_0|$,

per un certo indice $n in mathbb{N}$, dobbiamo verificare che è vera anche $n+1$, cioè che risulti vera:

$|u_(n+2)-u_(n+1)|le L^(n+1)|u_1-u_0|.$

Essendo che vale $|u_(n+1)-u_n|le L|u_n-u_(n-1)|$, allora $|u_(n+2)-u_(n+1)| \le L |u_(n+1)-u_n|le L^(n+1)|u_1-u_0|.$

Cosi va bene ??

[gugo82]

E sì…

Vedi galles90, questo è un tipico esempio di come si ricava da una relazione ricorrente una non ricorrente. Si sfrutta la ricorrenza procedendo all’indietro finché si può, determinando una relazione non ricorrente; poi si dimostra per induzione che la relazione non ricorrente è soddisfatta dalla successione definita dalla ricorrenza.
In proposito, trovi alcuni esercizi qui.

[galles90]

"gugo82":E sì…

Vedi galles90, questo è un tipico esempio di come si ricava da una relazione ricorrente una non ricorrente. Si sfrutta la ricorrenza procedendo all’indietro finché si può, determinando una relazione non ricorrente; poi si dimostra per induzione che la relazione non ricorrente è soddisfatta dalla successione definita dalla ricorrenza.
In proposito, trovi alcuni esercizi qui.

Grazie gugo82, per la tua saggezza

Vediamo se ho capito, la relazione ricorrente in questo caso è $|u_(n+1)-u_n|le L|u_n-u_(n-1)|$, invece quella che si è ottenuta, la quale non è ricorrente è $|u_(n+1)-u_n|leL^n|u_1-u_0|$ ?

[gugo82]

Già.

[galles90]

Buongiorno gugo82,

sembra di aver capito quello che hai detto, quindi, continuo la dimostrazione:

Per riprendere la dimostrazione, riscrivo:

1)

$|u_(n+1)-u_n| le L^n |u_1-u_0|$

Abbiamo

$|u_(n+k)-u_n| le |u_(n+k)-u_(n+k-1)|+...+|u_(n+1)-u_n|$

quindi per la 1) si ha

$|u_(n+k)-u_n | le L^k(L^(k-1)+...+1)|u_1-u_0|$

dove in particolare

$L^n(L^(k-1)+...+1)=sum_(k=1)^(n)L^k<1/(1-L)$

pertanto si ha

$|u_(n+k)-u_n |

Poichè $L<1$ la successione è di Cauchy, per cui è convergernte.

Il passaggio che non mi è molto chiaro è la diseguaglianza, cioè, se vuole dimostrare che la quantità a primo membro è una successione di Cauchy, non anadava bene la quantità a primo membro della 1), oppure, vuole far vedere che vale per un indice $k$ qualsiasi, purchè sia scelto maggiore di indice $nu_(epsilon)$.

Ciao

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[gugo82]

Qual è la definizione di successione di Cauchy?

[galles90]

Def.
Una successione $a_n$, si dice di Cauchy, se per ogni $epsilon>0 \ exists nu \: \ m,p >nu$, si abbia $|a_m-a_p|

Il punto che non mi torna è perchè considera un indice $k$ qualsiasi, non tipo indice $n+1$, come fatto prima.
Però adesso rileggendola, mi è venuto un flash

cioè questa $|u_(n+1)-u_n|$, non è di Caucgy
invece questa $|u_(n+k)-u_n|$ è di Cauchy, per quanto detto,

se è corretta come cosa, è molta rozza, per come l'ho formalizzata

[gugo82]

Al posto di $m$ puoi sostituire $p+k$ con $k in NN$ e non fai danno.

[galles90]

Quindi in sintesi, la differenza sostanziale tra questa $|u_(n+1)-u_n|$ e questa $|u_(n+k)-u_n|$ è più di forma che di sostanza, cioè, si vuole far vedere che l'ultima è una successione di Cauchy, non perchè la prima non lo sia, ma solo per portarsi nella forma di una successione di Cauchy, le quali quest'ultime convergono, è cosi ?

[gugo82]

No.
La differenza è proprio di sostanza.

Trova una successione tale che per ogni $epsilon >0$ esiste $ nu in NN$ tale che per $n > nu$ risulta $|u_(n+1) - u_n| < epsilon$ e che non converge (e quindi non è di Cauchy).

[galles90]

prendo come successione $u_n=(-1)^n$ la quale non converge, inoltre per ogni $epsilon > 0 $, si ha $|(-1)^n-(-1)^(n+1)|=0 Non so se è questo quello che intendi, o meglio questo ho capito. Comunque non mi è molto chiara come cosa, cioè, voglio dire:
non poso prendere $k=1$, ed ottengo $|u_(n+1)-u_n|$, c'è qualcosa che non mi torna

[gugo82]

Certo, se la successione è di Cauchy, puoi farlo.
Il problema è che non tutte le successioni tali che $|u_(n+1) - u_n| -> 0$ sono di Cauchy, cioè l’implicazione precedente non si inverte.


P.S.: Complimenti per il controesempio. Sai trovare una successione divergente tale che $|u_(n+1) - u_n| -> 0$?

[galles90]

Quindi, forse ho capito "speriamo", la relazione che ha dimostrato nella prima parte, serve per avere una stima della relazione $|u_(n+1)-u_n|$, invece, nella seconda parte, usa la stima dimostrata in precedenza e dimostrata che scegliendo un $k in mathbb{N}$ qualsiasi, si ha la tesi. Ovviamente tutto questo non sarebbe necessario se la successione è di Cauchy. E' cosi ?

"gugo82":
P.S.: Complimenti per il controesempio. Sai trovare una successione divergente tale che $|u_(n+1) - u_n| -> 0$?

Grazie, detto da te vale ancora di più .
Comunque penso che sia $ln(n) to + infty$ per $ n to infty$, quindi $|ln(n+1)-ln(n)|=|ln( 1+1/n)| to 0, \quad n to infty.$