Relazione fra zeri (soluzioni) del prodotto di polinomi rispetto a quelle dei singoli polinomi
Salve,
Ho il seguente dubbio. Siano date due funzioni razionali fratte proprie A, B (nel mio caso sono a variabile complessa ma credo che si possano per semplicità considerare di variabile reale).
Calcolo [highlight]le soluzioni (zeri) del solo denominatore[/highlight] di tali funzioni A, B.
Se considero ora la funzione prodotto AB e ripeto il calcolo delle radici [highlight]del denominatore[/highlight] della funzione così ottenuta, cosa posso dire a priori su tali radici rispetto a quelle dei denominatori delle singole funzioni? Cioè... Gli zeri di AB saranno un sottoinsieme dell’insieme unione delle soluzioni dei denominatori di A, B? Le radici saranno coincidenti?
E se invece dovessi fare le stesse considerazioni per la funzione A+B?
Ho il seguente dubbio. Siano date due funzioni razionali fratte proprie A, B (nel mio caso sono a variabile complessa ma credo che si possano per semplicità considerare di variabile reale).
Calcolo [highlight]le soluzioni (zeri) del solo denominatore[/highlight] di tali funzioni A, B.
Se considero ora la funzione prodotto AB e ripeto il calcolo delle radici [highlight]del denominatore[/highlight] della funzione così ottenuta, cosa posso dire a priori su tali radici rispetto a quelle dei denominatori delle singole funzioni? Cioè... Gli zeri di AB saranno un sottoinsieme dell’insieme unione delle soluzioni dei denominatori di A, B? Le radici saranno coincidenti?
E se invece dovessi fare le stesse considerazioni per la funzione A+B?
Risposte
Sia \( P_1(z) = \frac{N_1(z)}{D_1(z)} \) e \( P_2(z) = \frac{N_2(z)}{D_2(z) } \),
Chiama i multiset (in cui un termine è presente nel insieme tante volte quante la molteplicità dello zero) delle loro radici \( R_{N_1} , R_{D_1}, R_{N_2}, R_{D_2} \). Puoi ovviamente supporre che \( R_{N_1} \cap R_{D_1} = \emptyset \) e \( R_{N_2} \cap R_{D_2} = \emptyset \), contati
\[ N_1(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg N_1} (z- n_{1,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{N_1}} (z- \gamma ) \]
\[ D_1(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg D_1} (z-d_{1,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{D_1}} (z- \gamma ) \]
\[ N_2(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg N_2} (z- n_{2,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{N_2}} (z- \gamma ) \]
\[ D_2(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg D_2} (z-d_{2,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{D_2}} (z- \gamma ) \]
Allora il prodotto dei denominatori è
\[ D_1(z)D_2(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg D_1} (z-d_{1,j} ) \prod_{j = 1}^{ \deg D_2} (z-d_{2,j} ) \]
Per trovare gli zeri del denominatore di \( P_1 \cdot P_2(z) \) devi cancellare da questi prodotti tutti i termini \( R_{N_2} \cap R_{D_1} \) e \( R_{N_1} \cap R_{D_2} \). Chiama dunque \( R = (R_{D_1} \cup R_{D_2}) \setminus ((R_{N_2} \cap R_{D_1}) \cup (R_{N_1} \cap R_{D_2}) ) \) Quindi le radici del denominatore di \(P_1P_2(z) \) sono
\[ \prod_{\gamma \in R} (z- \gamma ) \]
Devi ragionare in modo analogo con \((P_1 + P_2)(z) \).
Chiama i multiset (in cui un termine è presente nel insieme tante volte quante la molteplicità dello zero) delle loro radici \( R_{N_1} , R_{D_1}, R_{N_2}, R_{D_2} \). Puoi ovviamente supporre che \( R_{N_1} \cap R_{D_1} = \emptyset \) e \( R_{N_2} \cap R_{D_2} = \emptyset \), contati
\[ N_1(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg N_1} (z- n_{1,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{N_1}} (z- \gamma ) \]
\[ D_1(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg D_1} (z-d_{1,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{D_1}} (z- \gamma ) \]
\[ N_2(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg N_2} (z- n_{2,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{N_2}} (z- \gamma ) \]
\[ D_2(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg D_2} (z-d_{2,j} ) = \prod_{\gamma \in R_{D_2}} (z- \gamma ) \]
Allora il prodotto dei denominatori è
\[ D_1(z)D_2(z) = \prod_{j = 1}^{ \deg D_1} (z-d_{1,j} ) \prod_{j = 1}^{ \deg D_2} (z-d_{2,j} ) \]
Per trovare gli zeri del denominatore di \( P_1 \cdot P_2(z) \) devi cancellare da questi prodotti tutti i termini \( R_{N_2} \cap R_{D_1} \) e \( R_{N_1} \cap R_{D_2} \). Chiama dunque \( R = (R_{D_1} \cup R_{D_2}) \setminus ((R_{N_2} \cap R_{D_1}) \cup (R_{N_1} \cap R_{D_2}) ) \) Quindi le radici del denominatore di \(P_1P_2(z) \) sono
\[ \prod_{\gamma \in R} (z- \gamma ) \]
Devi ragionare in modo analogo con \((P_1 + P_2)(z) \).
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