Relazione differenziale e derivata parziale

[itisscience]

Salve ragazzi,
sia $ g:Asube RR^N->RR $ differenziabile in $ x^0in A $ con $ A $ aperto.
è possibile scrivere la seguente relazione: $ (partial g)/(partial x_k)(x^0)=(partial g)/(partial e_k)(x^0)=Dg(x^0)[e_k] $
dove con $ D $ ho indicato il differenziale, e con $ e_k $ il k-esimo elemento della base canonica.

per quanto intuitivo, non riesco a visualizzare il nesso tra queste tre uguaglianze. in che senso la derivata parziale rispetto al k-esimo elemento della base canonica mi dà la derivata parziale della funzione g rispetto alla variabile k-esima? e in che modo il differenziale e la derivata parziale sono collegati?

vi sarei grato se mi rispondeste a queste due domande, o mi rimandaste a un sito in cui viene spiegato in modo semplice e intuitivo. grazie.

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

Beh, usando le tue notazioni il differenziale totale di una funzione $g(x_1, x_2, ... , x_k, ... , x_N)$ di $N$ variabili in $x^0 \in A $ è il seguente:

$ Dg(x^0) = (partial g)/(partial x_1)(x^0) "d"x_1 + (partial g)/(partial x_2)(x^0) "d"x_2 + ... + (partial g)/(partial x_k)(x^0) "d"x_k + ... + (partial g)/(partial x_N)(x^0) "d"x_N $

Se selezioni la componente $k$-esima ottieni proprio la relazione che hai scritto...

[itisscience]

"pilloeffe":
$ Dg(x^0) = (partial g)/(partial x_1)(x^0) "d"x_1 + (partial g)/(partial x_2)(x^0) "d"x_2 + ... + (partial g)/(partial x_k)(x^0) "d"x_k + ... + (partial g)/(partial x_N)(x^0) "d"x_N $

quindi in pratica posso scrivere $ (partial g)/( partial x_2)=(partial g)/( partial e_2) $ perchè $ (partial g)/( partial e_2)=0+(partial g)/( partial x_2)+0+.....0 $