Regole di derivazione su punto di raccordo

[Sk_Anonymous]

Il professore ci ha spiegato che per calcolare la derivata parziale in un punto di raccordo (ovvero un punto dove, in un suo intorno, la funzione è definita diversamente) non è corretto usare le regole di derivazione, ma bisogna usare per forza la definizione di derivata. Ora su un eserciziario ho trovato questo esercizio:

Verificare che per la funzione

\[
f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}} & (x,y)\neq(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\]


si ha \( f_{xy}(0,0)=0 \neq f_{yx}(0,0)=1 \)

[size=85]da "Esercizi di analisi matematica 2" di Salsa-Squellati pag. 96[/size]

Come vedete $(0,0)$ è un punto di raccordo perchè in un intorno dell'origine la funzione è definita diversamente. Quindi bisognerebbe calcolare la derivata parziale con la definizione. Tuttavia la soluzione proposta dal libro inizia cosi:

Si ha $f_{x}(x,y)=x^{2}y\frac{x^{2}+3y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$

Come vedete ha usato le regole di derivazione sulla prima funzione. Come si spiega?

[Rigel1]

Si spiega col fatto che quella è $f_x$ fuori dall'origine, mentre $f_x(0,0) = 0$. Questa funzione adesso la devi derivare rispetto a $y$ nell'origine.

[Sk_Anonymous]

Non riesco a convincermi di questo fatto. Il quesito chiede di trovare \( f_{xy}(0,0) \). Quindi devo calcolare la derivata rispetto a x della funzione nell'origine, fare la derivata di questa rispetto a y, e poi valutarla nell'origine. Che me ne faccio della derivata prima rispetto a x fuori dall'origine? Se puoi essere un po' più chiaro perchè questo dubbio concettuale che ho mi sembra abbastanza grave ....

[Rigel1]

Lascia perdere per un attimo le due variabili, pensa pure ad una funzione di una variabile.
Se tu vuoi calcolare la derivata seconda di una funzione in un punto, devi conoscere la derivata prima in un intorno di quel punto.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":Lascia perdere per un attimo le due variabili, pensa pure ad una funzione di una variabile.
Se tu vuoi calcolare la derivata seconda di una funzione in un punto, devi conoscere la derivata prima in un intorno di quel punto.

Infatti io non voglio calcolare la derivata prima NEL punto e poi derivare un'altra volta, perchè otterrei 0. Il mio problema è che a me sembra una contraddizione quanto ho appreso a lezione e quanto sto vedendo ora.

A lezione ho appreso che per calcolare la derivata parziale in un punto di raccordo non posso usare le regole di derivazione, perchè la derivata che ottengo NON vale nel punto di raccordo, ma devo usare per forza la definizione di derivata (parziale in questo caso).

Ora tu mi dici che a me interessa la derivata prima nell'intorno di quel punto (e quindi non mi interessa la valutazione della derivata in quel punto, e fin qui mi sta bene perchè il limite di una funzione in un punto prescinde dalla valutazione della funzione in quel punto), e quindi posso usare le regole di derivazione sulla prima funzione (considerando l'altra variabile costante eccetera ...).

Quindi quello che ho appreso a lezione non è vero .... cioè se per calcolare la derivata parziale nel punto di raccordo posso usare le regole di derivazione, allora non è vero che non posso usarle, no? (ovviamente saranno vere entrambe ma sono io che non ho capito come si conciliano)

EDIT: Poi come hai ottenuto che $f_x (0,0) = 0$? Hai applicato la definizione o hai derivato semplicemente la seconda funzione?

[Rigel1]

"raffamaiden":
Ora tu mi dici che a me interessa la derivata prima nell'intorno di quel punto (e quindi non mi interessa la valutazione della derivata in quel punto, e fin qui mi sta bene perchè il limite di una funzione in un punto prescinde dalla valutazione della funzione in quel punto), e quindi posso usare le regole di derivazione sulla prima funzione (considerando l'altra variabile costante eccetera ...).

Nein!
Ti serve la derivata prima in un intorno del punto, che per definizione contiene anche il punto stesso.
Fuori dal punto usi le regole di derivazione (visto che le puoi usare), nel punto usi la definizione (visto che non puoi usare le regole di derivazione).
Usando la definizione ottieni che $f_x(0,0) = 0$; usando le regole di derivazione calcoli invece $f_x(x,y)$ per $(x,y)\ne (0,0)$.

[Sk_Anonymous]

"Rigel":

Nein!
Ti serve la derivata prima in un intorno del punto, che per definizione contiene anche il punto stesso.
Fuori dal punto usi le regole di derivazione (visto che le puoi usare), nel punto usi la definizione (visto che non puoi usare le regole di derivazione).
Usando la definizione ottieni che $f_x(0,0) = 0$; usando le regole di derivazione calcoli invece $f_x(x,y)$ per $(x,y)\ne (0,0)$.

Giusto, ho detto una ca*** perchè nella definizione di derivata compare la valutazione della funzione nel punto.

Quindi l'espressione corretta per la derivata prima rispetto a x è questa?

\(
f_{x}(x,y)=\begin{cases}
x^{2}y\frac{x^{2}+3y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}} & (x,y)\neq(0,0)\\
0 & (x,y)=(0,0)
\end{cases}
\)

Cioè il libro sbaglia a dire che la derivata prima è solo la prima funzione? E ora da questa che devo fare? L'origine di questa funzione è ancora punto di raccordo, e la funzione è definita a pezzi. Quindi la derivata parziale rispetto a y nell'origine di questa (che poi sarebbe la derivata seconda della funzione di partenza) me la devo calcolare con la definizione, giusto?

[Rigel1]

Giusto.

[Sk_Anonymous]

Ok, ora ho capito. Ti ringrazio molto per le risposte (e la pazienza)