Regole di derivazione di funzioni composte
Salve a tutti!
Ho un problema con le derivate, sto studiando analisi 1 dal Giusti per l'esame del cdL in fisica e non ho fatto il liceo scientifico quindi mi trovo per la prima volta di fronte un argomento del genere.
Praticamente il libro comincia col dimostrare le regole di derivazione: somma, prodotto, rapporto, inversa, composizione di funzioni ecc...
passando agli esercizi di fine capitolo mi trovo degli esercizi che non riesco (secondo un approccio iniziale) a risolvere.
Cercando su internet mi imbatto nelle regole di derivazioni delle funzioni composte (es. su wikipedia c'è una grande lista di regole) che applicate ai miei esercizi mi danno direttamente la soluzione che mi serve. Ora il problema è uno:
nel mio libro queste formule non ci sono dunque:
1) devo ricavarmele in qualche modo?
2) devo risolvere gli esercizi senza usare queste formule ?
Vi propongo, giusto per farvi capire, un esempio:
Calcolare la derivata di:
\(\displaystyle 2^(xsenx) \)
il libro mi dice di calcolare la derivata e io con le conoscenze date dal libro potrei applicare la regola:
f ' \(\displaystyle a^x=a^x * ln a \)
Ma non torna dato che nelle formule di derivazione delle funzioni composte la regola assume questa forma:
f ' \(\displaystyle a^(f(x))=a^(f(x))*f '(x) * lna \)
Ho un problema con le derivate, sto studiando analisi 1 dal Giusti per l'esame del cdL in fisica e non ho fatto il liceo scientifico quindi mi trovo per la prima volta di fronte un argomento del genere.
Praticamente il libro comincia col dimostrare le regole di derivazione: somma, prodotto, rapporto, inversa, composizione di funzioni ecc...
passando agli esercizi di fine capitolo mi trovo degli esercizi che non riesco (secondo un approccio iniziale) a risolvere.
Cercando su internet mi imbatto nelle regole di derivazioni delle funzioni composte (es. su wikipedia c'è una grande lista di regole) che applicate ai miei esercizi mi danno direttamente la soluzione che mi serve. Ora il problema è uno:
nel mio libro queste formule non ci sono dunque:
1) devo ricavarmele in qualche modo?
2) devo risolvere gli esercizi senza usare queste formule ?
Vi propongo, giusto per farvi capire, un esempio:
Calcolare la derivata di:
\(\displaystyle 2^(xsenx) \)
il libro mi dice di calcolare la derivata e io con le conoscenze date dal libro potrei applicare la regola:
f ' \(\displaystyle a^x=a^x * ln a \)
Ma non torna dato che nelle formule di derivazione delle funzioni composte la regola assume questa forma:
f ' \(\displaystyle a^(f(x))=a^(f(x))*f '(x) * lna \)
Risposte
se qualcuno mi scrive un codice esatto per scrivere le formule lo ringrazio XD la prima formula è un 2 elevato al resto
mentre l'ultima formula è un a elevato a fx = a elevato a fx
mentre l'ultima formula è un a elevato a fx = a elevato a fx
"xaler":
\(\displaystyle 2^(xsenx) \)
il libro mi dice di calcolare la derivata [...]
Se la funzione è \(\displaystyle 2^{x \sin x} \) credo ci sia ben poco da fare: devi usare la formula per la derivazione di funzioni composte che, nel tuo caso, è appunto: \(\displaystyle D[a^{f(x)}]=a^{f(x)} (\ln a) f'(x) \).
Come scrive Delirium, devi combinare la regola di derivazione per la funzione esponenziale $a^x$ con la regola di derivazione di una funzione composta...
e... ho notato che devo fare così.. ma possibile che il libro creda che io mi ricavi le formule di derivazione delle funzioni composte senza che io ne conosca l'esistenza ? e inoltre pretende che le applichi... una cosa del genere non è risolvibile con le semplici regole di somma, prodotto, inversa, rapporto e composizione .... o sbaglio?
Inoltre ora mi sorge spontanea una domanda:
devo impararle a memoria nel senso che c'è la dimostrazione ma è complessa da applicare ogni volta oppure c'è un metodo facile per ricavarsi tutte le regole di derivazione delle funzioni composte ?
Inoltre ora mi sorge spontanea una domanda:
devo impararle a memoria nel senso che c'è la dimostrazione ma è complessa da applicare ogni volta oppure c'è un metodo facile per ricavarsi tutte le regole di derivazione delle funzioni composte ?
"Seneca":
Come scrive Delirium, devi combinare la regola di derivazione per la funzione esponenziale $a^x$ con la regola di derivazione di una funzione composta...
Ok ora capisco la presunzione del libro.. rimane il fatto che nessuno mi ha mai detto come combinare due o più regole ..
come si fa per esempio a combinare le regole di derivazione di \(\displaystyle a^x \) con quella delle funzioni composte ?
Devi derivare $a^y$ pensando $y$ come una $y(x) = x sin(x)$.
Allora applichi la regola di derivazione (rispetto ad $y$) dell'esponenziale $a^y$ e moltiplichi per la derivata dell'argomento $y = y(x)$ (rispetto ad $x$).
Allora applichi la regola di derivazione (rispetto ad $y$) dell'esponenziale $a^y$ e moltiplichi per la derivata dell'argomento $y = y(x)$ (rispetto ad $x$).
Quindi:
\(\displaystyle f'a^y=a^y * log a *f'(y) \) ?
se ho ben capito prendo la funzione più esterna e ne faccio la derivata (in questo caso \(\displaystyle a^y * log a \) e dopo (come da regola per le funzioni di composizione) moltiplico per la derivata della y (in questo caso \(\displaystyle f'xsenx \)
giusto ?
E se avessi avuto un l'esponente elevato a qualcos'altro ? come si fa a iterare la regole delle funzioni composte ?
\(\displaystyle f'a^y=a^y * log a *f'(y) \) ?
se ho ben capito prendo la funzione più esterna e ne faccio la derivata (in questo caso \(\displaystyle a^y * log a \) e dopo (come da regola per le funzioni di composizione) moltiplico per la derivata della y (in questo caso \(\displaystyle f'xsenx \)
giusto ?
E se avessi avuto un l'esponente elevato a qualcos'altro ? come si fa a iterare la regole delle funzioni composte ?
Prendiamo la funzione assegnata, ossia:
\[
f(x):=2^{x\ \sin x}\; .
\]
Essa è composta da due applicazioni, cioè:
\[
g(y) := 2^y \qquad \text{e} \qquad h(x):=x\ \sin x\; ,
\]
in quanto si ha \(f(x)=g(h(x))\).
Il teorema di derivazione della funzione composta allora importa:
\[
f^\prime (x) = g^\prime (h(x))\ h^\prime (x)
\]
o, in maniera più suggestiva:
\[
\frac{\text{d} f}{\text{d} x} (x) = \frac{\text{d}}{\text{d} x} \Big[ g(h(x))\Big] = \frac{\text{d} g}{\text{d} y}(h(x))\ \frac{\text{d}h}{\text{d} x} (x)\; .
\]
Calcolando le derivate di \(g\) ed \(h\) si trova:
\[
\begin{split}
g^\prime (y) &= (\log 2)\ 2^y &\text{(dalla tabella)}\\
h^\prime (x) &= \sin x +x\ \cos x \qquad &\text{(dalla derivata del prodotto e dalla tabella)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
f^\prime (x) = (\log 2)\ 2^{x\ \sin x}\ (\sin x +x\ \cos x)\; .
\]
\[
f(x):=2^{x\ \sin x}\; .
\]
Essa è composta da due applicazioni, cioè:
\[
g(y) := 2^y \qquad \text{e} \qquad h(x):=x\ \sin x\; ,
\]
in quanto si ha \(f(x)=g(h(x))\).
Il teorema di derivazione della funzione composta allora importa:
\[
f^\prime (x) = g^\prime (h(x))\ h^\prime (x)
\]
o, in maniera più suggestiva:
\[
\frac{\text{d} f}{\text{d} x} (x) = \frac{\text{d}}{\text{d} x} \Big[ g(h(x))\Big] = \frac{\text{d} g}{\text{d} y}(h(x))\ \frac{\text{d}h}{\text{d} x} (x)\; .
\]
Calcolando le derivate di \(g\) ed \(h\) si trova:
\[
\begin{split}
g^\prime (y) &= (\log 2)\ 2^y &\text{(dalla tabella)}\\
h^\prime (x) &= \sin x +x\ \cos x \qquad &\text{(dalla derivata del prodotto e dalla tabella)}
\end{split}
\]
quindi:
\[
f^\prime (x) = (\log 2)\ 2^{x\ \sin x}\ (\sin x +x\ \cos x)\; .
\]
Ok grazie !!!
per me si può chiudere il topic
grazie a tutti !
per me si può chiudere il topic
grazie a tutti !
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo