Regolarizzazione per convoluzione - Dimostrazione
Quello che mi serve in effetti è capire l'ultimo passaggio della dimostrazione, per evitare ambiguità la posto tutta:
(Indichiamo, con $f ** g$, $f$ convoluta con $g$).
Sia $\phi \in C_0^{\infty}$, $\phi \geq 0$ e t.c. $\int_RR \phi(x)dx = 1$, e definiamo $\phi_{epsilon}(x) := 1/\epsilon \phi(x/\epsilon)$.
Sia $f$ continua, allora $f*\phi_{epsilon} \rightarrow f$ uniformemente sui limitati quando $\epsilon \rightarrow 0$.
Dimostrazione:
Dalla definizione di $\phi_{epsilon}$ si ha che $\phi_{epsilon}(x) = 0$ se $|x| \geq \epsilon$, e $\int_RR \phi_{epsilon}(x-y)dy = 1$. Se $x \in B_R$, si ha che:
$|f(x) - (f**\phi_{epsilon})(x)| = |\int_RR f(x)\phi_{epsilon}(x-y)dy - \int_RR f(y)\phi_{epsilon}(x-y)dy| \leq \int_RR |f(x)-f(y)|\phi_{epsilon}(x-y)dy \leq \text{sup}_{|x| \leq R, |x-y|\leq \epsilon}|f(x) - f(y)| \rightarrow 0$ quando $\epsilon \rightarrow 0$.
Il passaggio che non mi è chiaro è $\int_RR |f(x)-f(y)|\phi_{epsilon}(x-y)dy \leq \text{sup}_{|x| \leq R, |x-y|\leq \epsilon}|f(x) - f(y)|$: perchè questo è vero?
(Indichiamo, con $f ** g$, $f$ convoluta con $g$).
Sia $\phi \in C_0^{\infty}$, $\phi \geq 0$ e t.c. $\int_RR \phi(x)dx = 1$, e definiamo $\phi_{epsilon}(x) := 1/\epsilon \phi(x/\epsilon)$.
Sia $f$ continua, allora $f*\phi_{epsilon} \rightarrow f$ uniformemente sui limitati quando $\epsilon \rightarrow 0$.
Dimostrazione:
Dalla definizione di $\phi_{epsilon}$ si ha che $\phi_{epsilon}(x) = 0$ se $|x| \geq \epsilon$, e $\int_RR \phi_{epsilon}(x-y)dy = 1$. Se $x \in B_R$, si ha che:
$|f(x) - (f**\phi_{epsilon})(x)| = |\int_RR f(x)\phi_{epsilon}(x-y)dy - \int_RR f(y)\phi_{epsilon}(x-y)dy| \leq \int_RR |f(x)-f(y)|\phi_{epsilon}(x-y)dy \leq \text{sup}_{|x| \leq R, |x-y|\leq \epsilon}|f(x) - f(y)| \rightarrow 0$ quando $\epsilon \rightarrow 0$.
Il passaggio che non mi è chiaro è $\int_RR |f(x)-f(y)|\phi_{epsilon}(x-y)dy \leq \text{sup}_{|x| \leq R, |x-y|\leq \epsilon}|f(x) - f(y)|$: perchè questo è vero?
Risposte
Il ragionamento è questo. Visto che vuoi provare la c.u. sui limitati (in particolare su $B_R$, che credo sia l'intervallo $]-R,R[$, vero?), la variabile $x$ la prendi in $B_R$; d'altra parte l'integrale:
$\int_RR |f(x)-f(y)|phi_epsilon (x-y)" d"y$
non è in realtà esteso a tutto $RR$, ma è esteso al supporto di $phi_epsilon(x-y)$ come funzione di $y$ e tale supporto è $x+B_epsilon=]x-epsilon , x+epsilon[$: quindi:
$\int_RR |f(x)-f(y)|phi_epsilon (x-y)" d"y =\int_{x-epsilon }^{x+epsilon} |f(x)-f(y)| phi_epsilon (x-y)" d"y \quad$ (ora maggiori coi $"sup"$ e ricordi che $max phi_epsilon =1/epsilon$)
$\quad <= "sup"_{|x-y|
$\quad <= 2*"sup"_{z\in B_epsilon} |f(x)-f(x+z)|\quad$ (ora maggiori ancora prendendo l'estremo superiore pure risp. a $x$)
$\quad <=2*"sup"_{x\in B_R}"sup"_{z\in B_epsilon} |f(x)-f(x+z)| \quad$ (metti tutto insieme e ritorni alla variabile $y$)
$\quad <=2*"sup"_{x\in B_R " e " y\in x+B_epsilon} |f(x)-f(y)|$
e l'ultimo membro tende a zero per $\epsilon \to 0$ per uniforme continuità di $f$ in $B_{R+1}$.
$\int_RR |f(x)-f(y)|phi_epsilon (x-y)" d"y$
non è in realtà esteso a tutto $RR$, ma è esteso al supporto di $phi_epsilon(x-y)$ come funzione di $y$ e tale supporto è $x+B_epsilon=]x-epsilon , x+epsilon[$: quindi:
$\int_RR |f(x)-f(y)|phi_epsilon (x-y)" d"y =\int_{x-epsilon }^{x+epsilon} |f(x)-f(y)| phi_epsilon (x-y)" d"y \quad$ (ora maggiori coi $"sup"$ e ricordi che $max phi_epsilon =1/epsilon$)
$\quad <= "sup"_{|x-y|
$\quad <= 2*"sup"_{z\in B_epsilon} |f(x)-f(x+z)|\quad$ (ora maggiori ancora prendendo l'estremo superiore pure risp. a $x$)
$\quad <=2*"sup"_{x\in B_R}"sup"_{z\in B_epsilon} |f(x)-f(x+z)| \quad$ (metti tutto insieme e ritorni alla variabile $y$)
$\quad <=2*"sup"_{x\in B_R " e " y\in x+B_epsilon} |f(x)-f(y)|$
e l'ultimo membro tende a zero per $\epsilon \to 0$ per uniforme continuità di $f$ in $B_{R+1}$.
Però non mi pare che nella condizioni su $\phi$ sian contenuto né che è minore o uguale di uno (puntualmente) né l'ampiezza del suo supporto.
Quindi, c'era effettivamente un po' di "neblina"(*).
[size=75](*) spagnolo, usato in particolare in Sud America. Tanto per far piacere a Gugo82.[/size]
Quindi, c'era effettivamente un po' di "neblina"(*).
[size=75](*) spagnolo, usato in particolare in Sud America. Tanto per far piacere a Gugo82.[/size]
Effettivamente hai ragione FP...
Il fatto è che ho considerato in automatico il mollificatore standard:
[tex]\phi (x) := \begin{cases} c\cdot e^{\frac{1}{1-x^2}} & \text{, se } |x|<=1 \\ 0 & \text{, se } |x|>=1\end{cases}[/tex]
ove [tex]c=(\int_{-1}^1 e^{\frac{1}{1-x^2}} \text{d}x)^{-1}[/tex] (ed ho comunque sbagliato il [tex]\max[/tex], che è [tex]\tfrac{c}{e \varepsilon}[/tex] e non [tex]\tfrac{1}{\varepsilon}[/tex]... Ma vabbé è veniale
).
Ma va da sé che la cosa si può adattare al caso di mollificatori più generali.
Spero di non aver turbato troppo Gatto.
Il fatto è che ho considerato in automatico il mollificatore standard:
[tex]\phi (x) := \begin{cases} c\cdot e^{\frac{1}{1-x^2}} & \text{, se } |x|<=1 \\ 0 & \text{, se } |x|>=1\end{cases}[/tex]
ove [tex]c=(\int_{-1}^1 e^{\frac{1}{1-x^2}} \text{d}x)^{-1}[/tex] (ed ho comunque sbagliato il [tex]\max[/tex], che è [tex]\tfrac{c}{e \varepsilon}[/tex] e non [tex]\tfrac{1}{\varepsilon}[/tex]... Ma vabbé è veniale
).Ma va da sé che la cosa si può adattare al caso di mollificatori più generali.
Spero di non aver turbato troppo Gatto.
No tranquillo, ora mi prendo un pò di tempo per vedermi e digerirmi bene i passaggi
"Gatto89":
No tranquillo, ora mi prendo un pò di tempo per vedermi e digerirmi bene i passaggi
Mi raccomando, controllali un po' che prima ho scritto di fretta.
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