Regolarità di una superficie
Buongiorno a tutti
Tra le condizioni di regolarità di una curva c'è $A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)>0$
dove $A(u,v) B(u,v) C(u,v)$ sono i tre minori d'ordine due della matrice jacobiana.Fin qui tutto bene! Il libro poi, per calcolare il piano tangente mi fa usare la condizione (che non dimostra) di ortogonalità tra il vettore $A(u,v) B(u,v) C(u,v)$ e il vettore $(del φ)/(delu)(u,v)$ perchè mi dice che dalla definizione di regolarità si ricava con conti semplici che il prodotto scalare tra questi due vettori è nullo ergo l'ortogonalità tra i due vettori! qualcuno conosce i passaggi matematici che mi portano a questo prodotto scalare?
Tra le condizioni di regolarità di una curva c'è $A^2(u,v)+B^2(u,v)+C^2(u,v)>0$
dove $A(u,v) B(u,v) C(u,v)$ sono i tre minori d'ordine due della matrice jacobiana.Fin qui tutto bene! Il libro poi, per calcolare il piano tangente mi fa usare la condizione (che non dimostra) di ortogonalità tra il vettore $A(u,v) B(u,v) C(u,v)$ e il vettore $(del φ)/(delu)(u,v)$ perchè mi dice che dalla definizione di regolarità si ricava con conti semplici che il prodotto scalare tra questi due vettori è nullo ergo l'ortogonalità tra i due vettori! qualcuno conosce i passaggi matematici che mi portano a questo prodotto scalare?
Risposte
Prima di tutto cerchiamo di capire alcune cose: indichiamo la superficie con $\varphi=\varphi(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$. Allora si ha la matrice Jacobiana
[tex]$\left(\begin{array}{ccc}
x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \varphi_u \\ \varphi_v\end{array}\right)$[/tex]
Una cosa che dovresti sapere è che il vettore di componenti $A,\ B,\ C$ lo si ottiene al modo seguente
$N=\varphi_u\wedge\varphi_v$ (prodotto vettoriale: prova a fare i conti se non ci credi)
e pertanto quello che devi dimostrare è che
$N\times\varphi_u=N\times\varphi_v=0$ (prodotto scalare)
Ma tutto ciò è vero, perché $N$ è il vettore normale alla superficie (per definizione), mentre i due vettori $\varphi_u,\ \varphi_v$ sono le direzioni principali "tangenti" alla superficie stessa (sempre per definizione).
Ne segue che questa proprietà non va affatto dimostrato, ma segue per definizione.
[tex]$\left(\begin{array}{ccc}
x_u & y_u & z_u\\ x_v & y_v & z_v
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \varphi_u \\ \varphi_v\end{array}\right)$[/tex]
Una cosa che dovresti sapere è che il vettore di componenti $A,\ B,\ C$ lo si ottiene al modo seguente
$N=\varphi_u\wedge\varphi_v$ (prodotto vettoriale: prova a fare i conti se non ci credi)
e pertanto quello che devi dimostrare è che
$N\times\varphi_u=N\times\varphi_v=0$ (prodotto scalare)
Ma tutto ciò è vero, perché $N$ è il vettore normale alla superficie (per definizione), mentre i due vettori $\varphi_u,\ \varphi_v$ sono le direzioni principali "tangenti" alla superficie stessa (sempre per definizione).
Ne segue che questa proprietà non va affatto dimostrato, ma segue per definizione.
Una verifica "concreta" della relazione si può fare così.
Il vettore (A,B,C) è dato da :
\(\displaystyle (A,B,C)= (y_uz_v-y_vz_u,x_vz_u-x_uz_v,x_uy_v-x_vy_u) \)
L'altro vettore invece è:
\(\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial u}= (x_u,y_u,z_u) \)
Pertanto il prodotto scalare è:
\(\displaystyle (A,B,C)\cdot \frac{\partial \phi}{\partial u}= (y_uz_v-y_vz_u,x_vz_u-x_uz_v,x_uy_v-x_vy_u)\cdot (x_u,y_u,z_u)\)
Ovvero :
\(\displaystyle (A,B,C)\cdot \frac{\partial \phi}{\partial u}= x_uy_uz_v-x_uy_vz_u+x_vy_uz_u-x_uy_uz_v+x_uy_vz_u-x_vy_uz_u=0\)
Q.E.D.
Il vettore (A,B,C) è dato da :
\(\displaystyle (A,B,C)= (y_uz_v-y_vz_u,x_vz_u-x_uz_v,x_uy_v-x_vy_u) \)
L'altro vettore invece è:
\(\displaystyle \frac{\partial \phi}{\partial u}= (x_u,y_u,z_u) \)
Pertanto il prodotto scalare è:
\(\displaystyle (A,B,C)\cdot \frac{\partial \phi}{\partial u}= (y_uz_v-y_vz_u,x_vz_u-x_uz_v,x_uy_v-x_vy_u)\cdot (x_u,y_u,z_u)\)
Ovvero :
\(\displaystyle (A,B,C)\cdot \frac{\partial \phi}{\partial u}= x_uy_uz_v-x_uy_vz_u+x_vy_uz_u-x_uy_uz_v+x_uy_vz_u-x_vy_uz_u=0\)
Q.E.D.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo