Regolarità di una funzione

[aram1]

Il fatto che una funzione si possa dire in modo informale "abbastanza regolare" su un intervallo significa che è derivabile con continuità in quell'intervallo un certo numero di volte?
Viceversa, dire che non è molto regolare significa che le sue derivate (ad esempio di ordine 3,4,5,..) in modulo possono essere molto grandi e che la funziona oscilla?
Vorrei capire bene che relazione c'è tra una funzione che oscilla e le sue derivate(non solo) la prima, mi spiego: se la funzione oscilla le sue derivate sono grandi in modulo?Vale il viceversa?
Grazie

[gugo82]

"aram":Il fatto che una funzione si possa dire in modo informale "abbastanza regolare" su un intervallo significa che è derivabile con continuità in quell'intervallo un certo numero di volte?

Di solito sì... Ma può anche voler dire altro.

"aram":Viceversa, dire che non è molto regolare significa che le sue derivate (ad esempio di ordine 3,4,5,..) in modulo possono essere molto grandi e che la funziona oscilla?

Di solito no. Vuol dire che la funzione non è derivabile più di un TOT di volte (o che non è affatto derivabile) nel suo insieme di definizione.

"aram":Vorrei capire bene che relazione c'è tra una funzione che oscilla e le sue derivate(non solo) la prima, mi spiego: se la funzione oscilla le sue derivate sono grandi in modulo?Vale il viceversa?

Dipende... Ad esempio, \(\sin x\) oscilla, ma la sua derivata (viz. \(\cos x\)) non è mai più grande di \(1\) in modulo; allo stesso modo la funzione:
\[
f(x):=\begin{cases} x^3\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\in [-1,1]\setminus \{ 0\} \\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è derivabile ed "oscilla" intorno a \(0\), però la sua derivata:
\[
f^\prime (x):=\begin{cases} 3x^2\ \sin \frac{1}{x} - x\ \cos \frac{1}{x} &\text{, se } x\in [-1,1]\setminus \{ 0\} \\ 0 &\text{, se } x=0\end{cases}
\]
è limitata in modulo in \([-1,1]\).
L'importante sarebbe capire che vuol dire per te il verbo "oscillare".

[Rigel1]

"gugo82":
L'importante sarebbe capire che vuol dire per te il verbo "oscillare".

Infatti un noto teorema dice questo:

Se una funzione derivabile oscilla selvaggiamente, allora la sua derivata non è limitata.

Come si capisce bene da questo teorema (e come ha già detto gugo), per avere una derivata illimitata oscillare non basta: bisogna farlo selvaggiamente

[aram1]

Che ironia

[aram1]

Con funzione oscillante intendevo dire che presenta dei picchi. Quindi è lecito dire che una funzione che presenta dei picchi ha derivate(anche di ordine superiore al primo) grandi in modulo e se una funzione non presenta picchi è più regolare?
Inoltre, il fatto che ci siano delle singolarità come è legato alla non regolarità?
Grazie mille

[gugo82]

"aram":Che ironia

Quella di Righello non è ironia, ma una precisa descrizione della realtà.

"gugo82":
L'importante sarebbe capire che vuol dire per te il verbo "oscillare".

"aram":Con funzione oscillante intendevo dire che presenta dei picchi. Quindi è lecito dire che una funzione che presenta dei picchi ha derivate(anche di ordine superiore al primo) grandi in modulo e se una funzione non presenta picchi è più regolare?

E che vuol dire "presenta dei picchi"?

Come ho già detto, in generale no... Infatti la funzione:
\[
f(x):=\begin{cases} x^{101/100}\ \sin \frac{1}{x} &\text{, se } x\neq 0\\ 0 &\text{, se } x=0
\end{cases}
\]
ha il grafico che presenta infiniti massimi ed infiniti minimi intorno a \(0\), epperò essa è derivabile in \(0\) e la sua derivata prima si mantienen limitata intorno a \(0\) (pur non essendo continua in tal punto).

Perciò, come diceva Righello, non basta che una funzione oscilli per perdere regolarità... Deve oscillare selvaggiamente.

Per quanto riguarda le derivate d'ordine superiore, una piccola modifica all'esempio precedente può essere usata per dimostrare che esistono funzioni oscillanti intorno ad un punto ma derivabili \(n\) volte con derivata \(n\)-esima limitata intorno a quel punto.

"aram":Inoltre, il fatto che ci siano delle singolarità come è legato alla non regolarità?

Definisci "singolarità".

[aram1]

$1 / ((x-0.3)^2 + 0.01) + 1 / ((x-0.9)^2 + 0.04) - 6$ oscilla "selvaggiamente"?
Per singolarità intendo un punto in cui la funzione o le sue derivate non sono definite.

[gugo82]

"aram":$1 / ((x-0.3)^2 + 0.01) + 1 / ((x-0.9)^2 + 0.04) - 6$ oscilla "selvaggiamente"?

Una funzione algebrica come fa ad oscillare selvaggiamente???

Ma ad ogni modo, quella proposta, come funzione di variabile reale, è di classe \(C^\infty\) in tutto \(\mathbb{R}\).

"aram":Per singolarità intendo un punto in cui la funzione o le sue derivate non sono definite.

Se una funzione non è definita in un punto, come fa ad essere derivabile?
In un caso del genere il problema della regolarità non si pone nemmeno.