Regolarità di una curva
Ciao a tutti,
Posso dire che se una curva è l'unione di n curve regolari allora essa è regolare a tratti?
In particolare nell'ambito del seguente esercizio:
Se non sbaglio \(\gamma\) ha 3 punti di discontinuità quindi non è regolare.
Se prese singolarmente le 3 curve sono però tutte e 3 regolari.
Ora in generale presa una curva posso dire che è regolare a tratti se partizionando il suo dominio ciascuna partizione da luogo ad una curva regolare.
Non so se però posso concludere che \(\gamma\) sia regolare perchè se non sbaglio dovrebbe essere continua in tutti i punti compresi gli estremi delle partizioni considerate.. difatti direi che non esiste la retta tangente in quel punto.. quindi analiticamente mi verrebbe da dire che non è regolare.. però dal disegno sembra palesemente regolare a tratti! Qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio?
Posso dire che se una curva è l'unione di n curve regolari allora essa è regolare a tratti?
In particolare nell'ambito del seguente esercizio:
Sia \(\gamma\) la curva del piano unione di \(\gamma 1\) che congiunge (1,0) con (-1,0) lungo l'arco di circonferenza \(x^2 + y^2 = 1\) con \(y \geq 0\), del segmento \(\gamma 2\) che congiunge (-1,0) con (0,-1) e del segmento \(\gamma 3\) che congiunge (0,-1) con (1,0)
a)Stabilire se \(\gamma\) è regolare
b)Scrivere l'equazione parametrica della retta tangente a \(\gamma\) nel punto (1,0)
Se non sbaglio \(\gamma\) ha 3 punti di discontinuità quindi non è regolare.
Se prese singolarmente le 3 curve sono però tutte e 3 regolari.
Ora in generale presa una curva posso dire che è regolare a tratti se partizionando il suo dominio ciascuna partizione da luogo ad una curva regolare.
Non so se però posso concludere che \(\gamma\) sia regolare perchè se non sbaglio dovrebbe essere continua in tutti i punti compresi gli estremi delle partizioni considerate.. difatti direi che non esiste la retta tangente in quel punto.. quindi analiticamente mi verrebbe da dire che non è regolare.. però dal disegno sembra palesemente regolare a tratti! Qualcuno saprebbe dirmi dove sbaglio?
Risposte
La definizione di regolare a tratti nasce appunto perchè l'unione di curve regolari in generale non è regolare.
In particolare tu hai problemi con la derivata, visto che dove attacchi le curve hai degli spigoli...
In particolare tu hai problemi con la derivata, visto che dove attacchi le curve hai degli spigoli...
Ma quindi come faccio a studiare la regolarità di una curva che è unione di più curve regolari?
Tu avrai una definizione di curva regolare, fai vedere che quella non lo esibendo almeno un punto in cui la derivata fa casino
Ok quindi mi stai dicendo che facendo vedere che il limite destro e il limite sinistro della derivata in uno di quei 3 punti dove le curve si "uniscono" posso concludere che così com'è la curva non è regolare, giusto?
Ma il mio dubbio è se sia o meno regolare a tratti e come eventualmente verificarlo.
Perchè nelle definizioni di curva regolare a tratti che ho trovato si parla di un intervallo I generico e non riesco a capire se per essere regolare a tratti debba essere regolare in tutti i punti delle partizioni di I o se basta nei punti interni.
Ma il mio dubbio è se sia o meno regolare a tratti e come eventualmente verificarlo.
Perchè nelle definizioni di curva regolare a tratti che ho trovato si parla di un intervallo I generico e non riesco a capire se per essere regolare a tratti debba essere regolare in tutti i punti delle partizioni di I o se basta nei punti interni.
"Detta alla ****" è regolare a tratti se puoi definire un insieme di curve regolari che messe una in fila all'altra danno la tua curva. In pratica una curva è regolare a tratti se è regolare ovunque tranne che in un numero finito di punti, che saranno gli inizi delle varie curve.
O ecco questo volevo sentire!
Quindi se io ho due curve \( \gamma1\) definita in \(I = [a,b] \) e \( \gamma2\) definita in \(J = [c,d]\) con \(\gamma1(b) = \gamma2(c) \) (ovvero "si attaccano in un certo punto") con \( \gamma1\) e \( \gamma2\) regolari, allora posso concludere che \( \gamma\) data dall'unione delle due curve è regolare a tratti?
Da quello che dici tu direi di si visto che è regolare ovunque tranne nel punto in cui si "uniscono"
Quindi se io ho due curve \( \gamma1\) definita in \(I = [a,b] \) e \( \gamma2\) definita in \(J = [c,d]\) con \(\gamma1(b) = \gamma2(c) \) (ovvero "si attaccano in un certo punto") con \( \gamma1\) e \( \gamma2\) regolari, allora posso concludere che \( \gamma\) data dall'unione delle due curve è regolare a tratti?
Da quello che dici tu direi di si visto che è regolare ovunque tranne nel punto in cui si "uniscono"
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