Regolarità di una curva

[Amartya]

Salve a tutti, sto cercando di risolvere l'esercizio seguente, tuttavia non riesco proprio a capire cosa devo fare, non avendo trovato riferimenti analoghi sia nei libri di teoria che negli eserciziari.

Individuare una rappresentazione parametrica della seguente curva sghemba $\gamma$ (arco di elica circolare):

$x= -t; y = (1-t^2)^(1/2); z= arccos(-t)$, $t in [-1,0]$

da cui si possa riconoscerne la regolarità.

Calcolare la lunghezza di $\gamma$.

Quello che non riesco a capire ma la curva sghemba $\gamma$ non è già definita da una rappresentazione parametrica?

Cosa dovrei fare?

Grazie a tutti per gli eventuali suggerimenti.

[Sk_Anonymous]

$[t=-cosu] ^^ [0<=u<=\pi/2] rarr \{(x=cosu),(y=sinu),(z=u):}$

[Amartya]

"speculor":$[t=-cosu] ^^ [0<=u<=\pi/2] rarr \{(x=cosu),(y=sinu),(z=u):}$

Grazie della risposta, ma francamente non ho capito come ci sei arrivato.
Se saresti così gentile da spiegarmi il ragionamento logico che sottende la tua risposta mi faresti una grossa cortesia.

[Sk_Anonymous]

"emanuele78":
Quello che non riesco a capire ma la curva sghemba $\gamma$ non è già definita da una rappresentazione parametrica?

Se calcoli il vettore tangente utilizzando la parametrizzazione assegnata dal testo, ottieni un vettore mal definito.

"emanuele78":
Grazie della risposta, ma francamente non ho capito come ci sei arrivato.

Purtroppo con l'esperienza.

[Amartya]

"speculor":[quote="emanuele78"]
Quello che non riesco a capire ma la curva sghemba $\gamma$ non è già definita da una rappresentazione parametrica?

Se calcoli il vettore tangente utilizzando la parametrizzazione assegnata dal testo, ottieni un vettore mal definito.

"emanuele78":
Grazie della risposta, ma francamente non ho capito come ci sei arrivato.

Purtroppo con l'esperienza.[/quote]

Confortante quanto dici, considerando che non ho riferimenti neanche nel libro sia di teoria che degli esercizi, praticamente non ho speranze.


Link a qualche riferimento teorico?

Grazie comunque

[Sk_Anonymous]

Avere esperienza significa anche questo:

1. Con quella sostituzione, $[x(u)=cosu]$ rimane "bella".

2. Con quella sostituzione, $[y(u)=sinu]$ diventa "bella". Del resto, la forma iniziale suggerisce di utilizzare la prima relazione fondamentale goniometrica, mediante la quale si elimina la radice quadrata potenzialmente "brutta".

3. Con quella sostituzione, $[z(u)=u]$ diventa "bella". Del resto, la forma finale è la composizione di due funzioni l'una inversa dell'altra, mediante la quale si elimina la funzione goniometrica inversa potenzialmente "brutta".

Se a tutto questo aggiungi che si dovrebbe ricordare l'equazione parametrica "bella" di una generica elica circolare:

$\{(x=acosu),(y=asinu),(z=bu):}$

hai gli strumenti sufficienti per completare l'esercizio. Più soddisfatto adesso?

[Amartya]

Ciao si ok, ora è più chiaro. Certo sapendo che l'elica circolare ha quella forma parametrica diciamo che tutto diventa più intuitivo. In ogni caso mi sembrava strano l'esercizio, in quanto non mi era capitato che una stessa curva se parametrizzata in un modo è non regolare in un altro diventa regolare.

In ogni caso adesso è più chiaro.

Grazie

[dissonance]

Ma infatti, attenzione: il cambiamento di parametro operato da speculor non è biregolare (o come lo chiami tu: intendo dire che non è derivabile con l'inversa derivabile), perché la derivata del coseno si annulla in \(0\) e in \(\pi/2\). Questo ti ha confuso (ma mi sono confuso pure io) perché quando si sviluppa la teoria di solito si escludono cambiamenti di parametro siffatti.

@speculor: Bei post, complimenti! Ultimamente ti leggo sempre volentieri.

[Sk_Anonymous]

"dissonance":
@speculor: Bei post, complimenti! Ultimamente ti leggo sempre volentieri.

Doppiamente grazie, visto che sopporti i termini non troppo rigorosi che mi capita di utilizzare.