Regola di simmetria della Trasformata di Fourier
Ciao a tutti intanto.
Ho un dubbio riguardo a questa regola, ossia quella per cui se ho un segnale $s(t)$ che ha trasformata $S(f)$, considerando di porre $f=t$ e $t=-f$ ottengo il segnale $s(-f)$ con trasformata di Fourier $S(t)$.
Devo trovare l'antitrasformata di $G(f)=f*rect(f/(2B))$
Visto che ho già calcolato la trasformata di $x(t)=t*rect(t/(2T))$ che risulta essere $X(f)=iT/(pif)cos(2pifT)-i*1/(2pi^2f^2)sin(2pifT)$ avrei voluto usare la regola(naturalmente sostituendo $B$ a $T$ che sono entrambe costanti positive) ma ho qualche dubbio a riguardo perchè per il calcolo che devo fare io devo antitrasformare quindi non so se basta applicare le 2 uguaglianze $f=t$ e $t=-f$
Spero di essermi spiegato e spero mi aiutiate perchè ho sempre fatto un po' di confusione su queste cose...
Ho un dubbio riguardo a questa regola, ossia quella per cui se ho un segnale $s(t)$ che ha trasformata $S(f)$, considerando di porre $f=t$ e $t=-f$ ottengo il segnale $s(-f)$ con trasformata di Fourier $S(t)$.
Devo trovare l'antitrasformata di $G(f)=f*rect(f/(2B))$
Visto che ho già calcolato la trasformata di $x(t)=t*rect(t/(2T))$ che risulta essere $X(f)=iT/(pif)cos(2pifT)-i*1/(2pi^2f^2)sin(2pifT)$ avrei voluto usare la regola(naturalmente sostituendo $B$ a $T$ che sono entrambe costanti positive) ma ho qualche dubbio a riguardo perchè per il calcolo che devo fare io devo antitrasformare quindi non so se basta applicare le 2 uguaglianze $f=t$ e $t=-f$
Spero di essermi spiegato e spero mi aiutiate perchè ho sempre fatto un po' di confusione su queste cose...
Risposte
Per brevità, indico con $\to$ l'operatore trasformata di Fourier, in modo che $a \to A$ indichi che $A$ è la F-trasformata di $a$.
Dalla proprietà di dualità della trasformata di Fourier, si ha che
$s(t) \to S(f)$
$S(t) \to s(-f)$
Tu conosci $S(f) = G(f) = f \cdot "rect"(\frac{f}{2B})$, e vuoi determinare $s(t)$. Inoltre sai che (non ci vuole molto)
$S(t) = x(t) = t \cdot "rect"(\frac{t}{2T})$ (ho scambiato $B$ con $T$, tanto sono costanti, anche se non sarà il massimo del formalismo, per il momento chissene...)
Conosci anche la trasformata di 'sta roba, che risulta essere (ovviamente mi fido dei conti)
$s(-f) = i \frac{T}{\pi f} \cos(2 \pi f T) - i \frac{1}{2 \pi^2 f^2} \sin(2 \pi f T)$
ma allora
$s(f) = -i \frac{T}{\pi f} \cos(2 \pi f T) + i \frac{1}{2 \pi^2 f^2} \sin(2 \pi f T)$
di conseguenza
$s(t) = -i \frac{T}{\pi t} \cos(2 \pi t T) + i \frac{1}{2 \pi^2 t^2} \sin(2 \pi t T)$
Solo che all'inizio io avevo scambiato $T$ con $B$, pertanto, l'antitrasformata che ti interessa è
$s(t) = -i \frac{B}{\pi t} \cos(2 \pi t B) + i \frac{1}{2 \pi^2 t^2} \sin(2 \pi t B)$
Non sarà il massimo del formalismo, ma spero di aver reso l'idea.
Dalla proprietà di dualità della trasformata di Fourier, si ha che
$s(t) \to S(f)$
$S(t) \to s(-f)$
Tu conosci $S(f) = G(f) = f \cdot "rect"(\frac{f}{2B})$, e vuoi determinare $s(t)$. Inoltre sai che (non ci vuole molto)
$S(t) = x(t) = t \cdot "rect"(\frac{t}{2T})$ (ho scambiato $B$ con $T$, tanto sono costanti, anche se non sarà il massimo del formalismo, per il momento chissene...)
Conosci anche la trasformata di 'sta roba, che risulta essere (ovviamente mi fido dei conti)
$s(-f) = i \frac{T}{\pi f} \cos(2 \pi f T) - i \frac{1}{2 \pi^2 f^2} \sin(2 \pi f T)$
ma allora
$s(f) = -i \frac{T}{\pi f} \cos(2 \pi f T) + i \frac{1}{2 \pi^2 f^2} \sin(2 \pi f T)$
di conseguenza
$s(t) = -i \frac{T}{\pi t} \cos(2 \pi t T) + i \frac{1}{2 \pi^2 t^2} \sin(2 \pi t T)$
Solo che all'inizio io avevo scambiato $T$ con $B$, pertanto, l'antitrasformata che ti interessa è
$s(t) = -i \frac{B}{\pi t} \cos(2 \pi t B) + i \frac{1}{2 \pi^2 t^2} \sin(2 \pi t B)$
Non sarà il massimo del formalismo, ma spero di aver reso l'idea.
"Tipper":
$s(f) = -i \frac{T}{\pi f} \cos(2 \pi f T) + i \frac{1}{2 \pi^2 f^2} \sin(2 \pi f T)$
di conseguenza
$s(t) = -i \frac{T}{\pi t} \cos(2 \pi t T) + i \frac{1}{2 \pi^2 t^2} \sin(2 \pi t T)$
Ti ringrazio intanto. E credo sia stato meglio abbandonare momentaneamente i formalismi visto che sono poco incline a capire le cose in questi giorni..
Ad ogni modo ho capito la tua spiegazione, ma ti chiedo ancora un appunto. Il passaggio dalla 1° alla 2° delle 2 relazioni scritte sopra è stato fatto sempre considerando le sostituzioni che ho scritto nel 1° post ossia $f=t$ e $t=-f$, vero?(In questo caso la 1° delle 2.)
No, ho soltanto espresso il segnale $s$ (s minuscolo) in $t$ piuttosto che in $f$. Potevo benissimo scriverlo così
$s("Tipper") = -i \frac{T}{\pi "Tipper"} \cos(2 \pi "Tipper" T) + i \frac{1}{2 \pi^2 "Tipper"^2} \sin(2 \pi "Tipper" T)$
o come
$s("Dust") = -i \frac{T}{\pi "Dust"} \cos(2 \pi "Dust" T) + i \frac{1}{2 \pi^2 "Dust"^2} \sin(2 \pi "Dust" T)$
o in qualunque altro modo ti pare, insomma, non conta come chiami la variabile (il fatto di mettere usare $t$ quando lavori nel tempo e $f$ quando lavori nella frequenza è solo una comodità mnemonica, in teoria si potrebbe usare anche la stessa variabile per entrambi i domini, ma si genererebbe inutilmente confusione).
Ecco perché mi piace poco quando dici $f = t$ e $t= -f$, secondo me si fa confusione... Molto più semplice ricordare la proprietà dicendo che se la trasformata di $s(t)$ è $S(f)$, allora la trasformata di $S(t)$ è $s(-f)$.
$s("Tipper") = -i \frac{T}{\pi "Tipper"} \cos(2 \pi "Tipper" T) + i \frac{1}{2 \pi^2 "Tipper"^2} \sin(2 \pi "Tipper" T)$
o come
$s("Dust") = -i \frac{T}{\pi "Dust"} \cos(2 \pi "Dust" T) + i \frac{1}{2 \pi^2 "Dust"^2} \sin(2 \pi "Dust" T)$
o in qualunque altro modo ti pare, insomma, non conta come chiami la variabile (il fatto di mettere usare $t$ quando lavori nel tempo e $f$ quando lavori nella frequenza è solo una comodità mnemonica, in teoria si potrebbe usare anche la stessa variabile per entrambi i domini, ma si genererebbe inutilmente confusione).
Ecco perché mi piace poco quando dici $f = t$ e $t= -f$, secondo me si fa confusione... Molto più semplice ricordare la proprietà dicendo che se la trasformata di $s(t)$ è $S(f)$, allora la trasformata di $S(t)$ è $s(-f)$.
Ok. Grazie ancora! Ciao
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