Regola di integrazione per parti.
Buongiorno,
sto leggendo la regola di integrazione per parti, viene introdotta cosi:
la regola di integrazione per parti si basa sulla regola di derivazione del prodotto:
Se $f,g$ sono continue con le derivate $f',g'$ in $[a,b]$ allora risulta
Il punto che non mi torna chiaro è perchè occorre avere che le derivate di $f',g'$ siano continue ?
Mi sono risposto...
L'ipotesi che le due funzioni $f',g'$ siano continue nell'intervallo $[a,b]$, ci permette di considerare i due integrali a secondo membro della 1), cioè, hanno senso i due integrali.
Con questo voglio dire che, sono integrabili secondo Riemann, essendo che le funzioni prodotto $h=f'g$ e $z=fg'$ prodotto di due funzioni continue, quindi continue, allora risultano integrabili secondo il seguente teorema:
Sia $u:[a,b] to RR$ continua, allora è integrabile secondo Riemann in $[a,b]$.
sto leggendo la regola di integrazione per parti, viene introdotta cosi:
la regola di integrazione per parti si basa sulla regola di derivazione del prodotto:
$[fg]'=f'g+fg'$
Se $f,g$ sono continue con le derivate $f',g'$ in $[a,b]$ allora risulta
1) $[fg]_a^b=int_a^b f'g+int_a^bfg'$
Il punto che non mi torna chiaro è perchè occorre avere che le derivate di $f',g'$ siano continue ?
Mi sono risposto...
L'ipotesi che le due funzioni $f',g'$ siano continue nell'intervallo $[a,b]$, ci permette di considerare i due integrali a secondo membro della 1), cioè, hanno senso i due integrali.
Con questo voglio dire che, sono integrabili secondo Riemann, essendo che le funzioni prodotto $h=f'g$ e $z=fg'$ prodotto di due funzioni continue, quindi continue, allora risultano integrabili secondo il seguente teorema:
Sia $u:[a,b] to RR$ continua, allora è integrabile secondo Riemann in $[a,b]$.
Risposte
Ciao
Quello che dici è vero ma considera anche che alla fine di tutto userai il teorema fondamentale del calcolo quindi hai anche un altro motivo per cui considerare la continuità
Quello che dici è vero ma considera anche che alla fine di tutto userai il teorema fondamentale del calcolo quindi hai anche un altro motivo per cui considerare la continuità
Ciao anto_zoolander grazie per la risposta 
Per teorema fondamentale del calcolo integrale intendi questo:
Sia $f$ integrabile secondo Riemann in $[a,b]$ e sia $G$ una primitiva di $f$ in $(a,b)$, allora vale la formula
Il teorema ci dice in altre parole che basta conoscere una primitiva di $f$ in $(a,b)$ che sia continua in $[a,b]$ e ci siamo.
D'altra parte posso avere anche una funzione $f$ che abbia una discontinuità di seconda specie, che alla fine possiamo sempre applicare il teorema, quindi, la continuità della funzione integranda non mi sembra una condizione necessaria.
Tipo posso prendere come primitiva $G=x^2sin(1/x)...$
In tutto questo c'è qualcosa che non mi torna..
Per teorema fondamentale del calcolo integrale intendi questo:
Sia $f$ integrabile secondo Riemann in $[a,b]$ e sia $G$ una primitiva di $f$ in $(a,b)$, allora vale la formula
$int_a^b f=G(b)-G(a)$
Il teorema ci dice in altre parole che basta conoscere una primitiva di $f$ in $(a,b)$ che sia continua in $[a,b]$ e ci siamo.
D'altra parte posso avere anche una funzione $f$ che abbia una discontinuità di seconda specie, che alla fine possiamo sempre applicare il teorema, quindi, la continuità della funzione integranda non mi sembra una condizione necessaria.
Tipo posso prendere come primitiva $G=x^2sin(1/x)...$
In tutto questo c'è qualcosa che non mi torna..
Ne abbiamo parlato varie volte, anche se non credo siamo mai arrivati ad una risposta veramente soddisfacente. Ricordo bene di avere postato questa stessa domanda più di 10 anni fa.
Il fatto è che, come dici, ci vuole qualche ipotesi su \(f', g'\) perché i vari integrali abbiano un senso, ed è difficile trovare un insieme di ipotesi minimo, senza andare a finire in questioni sottili. Quindi si richiede che le varie funzioni siano \(C^1\) ed è più che sufficiente per tutte le applicazioni pratiche. Quando poi saremo "grandi", se vorremo, apriremo un librone come l'Evans-Gariepy ("Measure theory and fine properties of functions") e lì troveremo un sacco di materiale per studiare le funzioni più fini e complicate.
Il fatto è che, come dici, ci vuole qualche ipotesi su \(f', g'\) perché i vari integrali abbiano un senso, ed è difficile trovare un insieme di ipotesi minimo, senza andare a finire in questioni sottili. Quindi si richiede che le varie funzioni siano \(C^1\) ed è più che sufficiente per tutte le applicazioni pratiche. Quando poi saremo "grandi", se vorremo, apriremo un librone come l'Evans-Gariepy ("Measure theory and fine properties of functions") e lì troveremo un sacco di materiale per studiare le funzioni più fini e complicate.
Grazie Dissonance per la risposta
Quindi in sintesi per adesso mi devo accontentare della risposta che mi sono dato e di quello che mi ha detto @anto_zoolander?
Quindi in sintesi per adesso mi devo accontentare della risposta che mi sono dato e di quello che mi ha detto @anto_zoolander?
Si. Accontentati, per adesso.
Grazie
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