Regola di derivazione in due variabili
Ciao a tutti.
Ho bisogno di capire come si ricava questa uguaglianza.
$d/(dt)f(x(t),y(t)) = (del f)/(del x)dot x+(del f)/(del y)dot y$
Praticamente si deriva rispetto al tempo una funzione che è dipendente da due variabili che cambiano con il tempo. Deriva da qualche teorema? Come si dimostra?
Grazie
Ho bisogno di capire come si ricava questa uguaglianza.
$d/(dt)f(x(t),y(t)) = (del f)/(del x)dot x+(del f)/(del y)dot y$
Praticamente si deriva rispetto al tempo una funzione che è dipendente da due variabili che cambiano con il tempo. Deriva da qualche teorema? Come si dimostra?
Grazie
Risposte
Sia $f:A\subset RR^2 ->RR$, con $f\inC^1(A)$ e $(x_0,y_0)\inA$, $A$ aperto. Supponiamo che esista un intorno $S$ di $(x_0,y_0)$ e una funzione $h: I\subset RR ->S$, $h(t) = (x(t), y(t))$, con $(x(t_0), y(t_0)) = (x_0,y_0)$, $h\inC^1(I)$.
Supponiamo inoltre che $\forall t \in I$ $ x(t)\ne 0$ e $y(t)\ne 0$ eccetto al più nel punto $t=t_0$.
Allora:
$\lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t_0),y(t_0))}{t-t_0} =\lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))+f(x(t),y(t_0))-f(x(t_0),y(t_0))}{t-t_0} = \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{t-t_0} + \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t),y(t_0))-f(x(t_0),y(t_0))}{t-t_0} $
Sul primo limite:
$\lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{t-t_0} = \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{t-t_0} \frac{y(t)-y(t_0)}{y(t)-y(t_0)} = \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{y(t)-y(t_0)} \frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0} $
Per le ipotesi fatte su f e h, $y(t)$ è continua e al limite tende a $y(t_0)$ e quindi $f(x(t), y(t)) \to f(x(t_0), y(t_0))$.
Con l'altro limite il ragionamento è analogo.
Supponiamo inoltre che $\forall t \in I$ $ x(t)\ne 0$ e $y(t)\ne 0$ eccetto al più nel punto $t=t_0$.
Allora:
$\lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t_0),y(t_0))}{t-t_0} =\lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))+f(x(t),y(t_0))-f(x(t_0),y(t_0))}{t-t_0} = \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{t-t_0} + \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t),y(t_0))-f(x(t_0),y(t_0))}{t-t_0} $
Sul primo limite:
$\lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{t-t_0} = \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{t-t_0} \frac{y(t)-y(t_0)}{y(t)-y(t_0)} = \lim_{t \to t_0} \frac{f(x(t), y(t))-f(x(t),y(t_0))}{y(t)-y(t_0)} \frac{y(t)-y(t_0)}{t-t_0} $
Per le ipotesi fatte su f e h, $y(t)$ è continua e al limite tende a $y(t_0)$ e quindi $f(x(t), y(t)) \to f(x(t_0), y(t_0))$.
Con l'altro limite il ragionamento è analogo.
Devi anche tenere presente che la derivazione, scritta in questo modo sopra da me, ha bisogno di una piccola ulteriore ipotesi.
Sapresti dire quale?
Sapresti dire quale?
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