Regola di de l'Hôpital

[Chevtchenko]

Supponiamo che $f, g: \RR \rightarrow \RR$ siano funzioni derivabili e che sia abbia $g'(x) \ne 0$ in un intorno di $oo$. Supponiamo inoltre che $\lim_{x \to oo} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ esista. Possiamo concludere che $\lim_{x \to oo} \frac{f(x)}{g(x)}$ esiste e che $\lim_{x \to oo} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to oo} \frac{f'(x)}{g'(x)}$?
Ringrazio chi vorrà rispondere a questo quesito.

[clockover]

Si ma per applicare de l'Hopital devi avere nella funzione originaria un caso di indecisione $0/0$ oppure $infty/infty$ nel calcolo del limite

[G.D.5]

@ Chevtchenko
E' una domanda che fai al forum oppure è un esercizio che ci proponi?

[Chevtchenko]

@WiZaRd
E' una domanda che faccio al forum.

@clockover
E se non supponiamo che si abbia un caso di indecisione?

[dissonance]

Ah ecco... Mi stavo chiedendo dove fosse il trucco!
Quindi il punto è: se non c'è un caso di indecisione, vale lo stesso la regola di l'Hopital? Cioè, il limite di $(f')/(g')$ che supponiamo esista per ipotesi, è lo stesso di $(f)/(g)$? E forse la risposta è no, almeno, se ho capito bene. Prendiamo il limite per $x\to0$ di $x/(x+1)$, che è chiaramente $0$. Se però deriviamo, otteniamo $1/1=1$.

[Fioravante Patrone1]

Esatto

Se poi si guarda la dim, si capisce perché servono num e den infinitesimi (nel caso 0/0, ovvi adattamenti in altri casi)

[GIBI1]

Il limite $lim_(x\to \infty) (f’(x))/(g’(x))$ è condizione sufficiente (non necessaria) per il $lim_(x\to \infty) (f(x))/(g(x))$.

[Chevtchenko]

Se facciamo l'ulteriore ipotesi che $\lim_{x \to oo} g(x) = oo$?

[clockover]

"Chevtchenko":Se facciamo l'ulteriore ipotesi che $\lim_{x \to oo} g(x) = oo$?

E $lim_(x->infty)f(x)$ cosa fa? Comunque puoi continuare ad usare Hopital fino a quando hai $infty/infty$ oppure $0/0$, anche se comunque non è detto che ti semplifichi le cose! Potresti invece provare a sviluppare con Taylor!

[dissonance]

Se facciamo l'ulteriore ipotesi che $g(x)\toinfty$ funziona tutto. Sono andato a prendere il Rudin Principi di analisi matematica, il paragrafo 5.4 dice:

Supponiamo che $f$, $g$ siano funzioni reali derivabili in $(a,b)$ e $g'(x)!=0$, $-infty<=a (14) $f(x), g(x)\to0$ per $x\toa$;
oppure se
(15) $g(x)\to+infty$ per $x\toa$
allora
(16) $(f(x))/(g(x))\toA$ per $x\toa$.

[Chevtchenko]

"dissonance":Se facciamo l'ulteriore ipotesi che $g(x)\toinfty$ funziona tutto. Sono andato a prendere il Rudin Principi di analisi matematica, il paragrafo 5.4 dice:

Supponiamo che $f$, $g$ siano funzioni reali derivabili in $(a,b)$ e $g'(x)!=0$, $-infty<=a (14) $f(x), g(x)\to0$ per $x\toa$;
oppure se
(15) $g(x)\to+infty$ per $x\toa$
allora
(16) $(f(x))/(g(x))\toA$ per $x\toa$.

Grazie mille!

[valentyna88]

"dissonance":Ah ecco... Mi stavo chiedendo dove fosse il trucco!
Quindi il punto è: se non c'è un caso di indecisione, vale lo stesso la regola di l'Hopital? Cioè, il limite di $(f')/(g')$ che supponiamo esista per ipotesi, è lo stesso di $(f)/(g)$? E forse la risposta è no, almeno, se ho capito bene. Prendiamo il limite per $x\to0$ di $x/(x+1)$, che è chiaramente $0$. Se però deriviamo, otteniamo $1/1=1$.

scusa ma il $\lim_{n \to \0}$ $x/(x+1)$ nn è $1$ ??? perkè hanno lo stesso ordine di infinitesimo...non vorrei dire cavolate

ok scusa ho detto una grande cavolata...la matematica m fa male!!!!

[clockover]

Sostituisci lo zero al posto delle $x$ e vedi che ti viene $0/1$, che ovviamente è zero