Regola della catena

[antonio9992]

È possibile dimostrare la regola della catena usando il teorema di Lagrange?

Sia f(x(t)) derivabile nell'intervallo di definizione

$ (df) /(dt) =lim_(deltat -> 0) (f(x(t_0+deltat))-f(x(t_0))) /(deltat)=lim_(deltat -> 0)( (df) /(dx) (x(t_1)) deltax) /(deltat)$

Sbaglio qualcosa?

[gugo82]

Non hai terminato la dimostrazione.
Fallo.
Ti accorgerai che ti serve un’ipotesi in più.

[antonio9992]

"gugo82":Non hai terminato la dimostrazione.
Fallo.
Ti accorgerai che ti serve un’ipotesi in più.

È cioè che x sia derivabile rispetto a t? Se é così sistemo il messaggio.

[gugo82]

"antonio9992":[quote="gugo82"]Non hai terminato la dimostrazione.
Fallo.
Ti accorgerai che ti serve un’ipotesi in più.

È cioè che x sia derivabile rispetto a t? Se é così sistemo il messaggio.[/quote]
Non solo.
Qualcosa su $f^\prime$ pure manca...

[antonio9992]

Cancellato

[gugo82]

Si vede che non (ri)conosci i teoremi che applichi.
Riflettici un po’ sopra. Seriamente.

[antonio9992]

Non ho scritto che le funzioni devono essere reali, é questa l'ipotesi mancante?

[gugo82]

Fosse stata una cavolata simile te l'avrei detto a volo.
Ripeto, stai usando una proprietà/un teorema importante per fare i conti: quale?

[antonio9992]

Per le regole delle operazioni dei limiti t_1 deve appartenere ad un intorno di t_0

[gugo82]

Continuità.

Stai usando la continuità della derivata prima in $t_0$.

[antonio9992]

"antonio9992":È possibile dimostrare la regola della catena usando il teorema di Lagrange?

Sia f(x(t)) derivabile nell'intervallo di definizione

$ (df) /(dt) =lim_(deltat -> 0) (f(x(t_0+deltat))-f(x(t_0))) /(deltat)=lim_(deltat -> 0)( (df) /(dx) (x(t_1)) deltax) /(deltat)$

Sbaglio qualcosa?

$(f(x(t_0+deltat))-f(x(t_0))) /(deltat)=lim_(deltat -> 0)( (df) /(dx) (x(t_1)) deltax) /(deltat) =lim_(deltat -> 0)(df) /(dx) (x(t_1))( deltax) /(deltat)=((df) /(dx)) (dx) /(dt) $

Grazie Gugo

[dissonance]

Mi permetto di intervenire per alleggerire un po' Gugo: quello che ti vuole dire è che questa dimostrazione richiede troppe ipotesi su \(\frac{df}{dx}\). Il teorema è vero anche senza l'ipotesi che \(\frac{df}{dx}\) sia continua in \(x(t_0)\).

[antonio9992]

"dissonance":Mi permetto di intervenire per alleggerire un po' Gugo: quello che ti vuole dire è che questa dimostrazione richiede troppe ipotesi su \(\frac{df}{dx}\). Il teorema è vero anche senza l'ipotesi che \(\frac{df}{dx}\) sia continua in \(x(t_0)\).

Scusa ma se la derivata esiste in un punto in tal punto limite destro e sinistro della derivata devono coincidere, ciò non è equivalente alla continuità della funzione derivata?

[dissonance]

No. È un tipico fraintendimento. Esistono funzioni derivabili con la derivata non continua in qualche punto.

[antonio9992]

"dissonance":No. È un tipico fraintendimento. Esistono funzioni derivabili con la derivata non continua in qualche punto.

Si però dove esiste, dovendo essere uguali limite destro e sinistro, la derivata è continua nel punto.

[dissonance]

Ripeto che questo è falso.

[antonio9992]

"dissonance":Ripeto che questo è falso.

Come hai detto esistono funzioni con derivata non continua ma dove la derivata è discontinua essa non esiste proprio(esistono derivata destra e sinistra ma differenti) , dove esiste (e quindi limiti destro e sinistro del rapporto incrementale uguali) è continua

[dissonance]

Non so più come dirtelo: è falso. Un classico controesempio è questa funzione:
\[
f(x)=\begin{cases}
x^2\sin\left(\frac1x\right), & x\ne 0,\\
0, & x=0,\end{cases}\]
dove \(x\in\mathbb R\). Questa funzione è derivabile su tutto \(\mathbb R\), e
\[
f'(x)=\begin{cases} 
2\,x\sin \left( {x}^{-1} \right) -\cos \left( {x}^{-1} \right) , & x\ne 0, \\
0, & x=0, \end{cases}\]
che non è continua in \(0\).

[antonio9992]

Scusa è grazie mille

[dissonance]

Prego. È una cosa di cui si è parlato molte volte su questo forum, oltre ad essere un classico esempio da libro di testo.