Regola della catena
Buonasera a tutti mi servirebbe una mano per risolvere questo esercizio..
Sia f una funzione C1 da R2 in R. Calcolare, in base ad f e alle sue derivate, le derivate,rispetto a x,y e z, della funzione g : R3 → R definita da g(x, y, z) = f(xy + z^2, z sin(x + 5y))
Credo che vada applicato il teorema della catena ma non ho idea di come si faccia.
Grazie in anticipo
Sia f una funzione C1 da R2 in R. Calcolare, in base ad f e alle sue derivate, le derivate,rispetto a x,y e z, della funzione g : R3 → R definita da g(x, y, z) = f(xy + z^2, z sin(x + 5y))
Credo che vada applicato il teorema della catena ma non ho idea di come si faccia.
Grazie in anticipo
Risposte
ciao,
abbiamo una funzione $f(u,v)$ e una funzione in 3 variabili definita come $g(x,y,z)=f(xy + z^2, z\ \sin(x + 5y))$, e vogliamo conoscere le derivate parziali della funzione $g$, in base alle derivate di $f$.
Partendo dalla costatazione che:
$dg \ = \ f_u \ du + f_v \ dv$
possiamo trovare tutte le derivate di g. Infatti:
$\frac{\partial g}{\partial x} \ = \ f_u \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \frac{\partial v}{\partial x} \ = \ y f_u + z cos(x + 5y) f_v$
$\frac{\partial g}{\partial y} \ = \ f_u \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \frac{\partial v}{\partial y} \ = \ x f_u + 5 z cos(x + 5y) f_v$
$\frac{\partial g}{\partial z} \ = \ f_u \frac{\partial u}{\partial z} + f_v \frac{\partial v}{\partial z} \ = \ 2z f_u + sin(x + 5y) f_v$
abbiamo una funzione $f(u,v)$ e una funzione in 3 variabili definita come $g(x,y,z)=f(xy + z^2, z\ \sin(x + 5y))$, e vogliamo conoscere le derivate parziali della funzione $g$, in base alle derivate di $f$.
Partendo dalla costatazione che:
$dg \ = \ f_u \ du + f_v \ dv$
possiamo trovare tutte le derivate di g. Infatti:
$\frac{\partial g}{\partial x} \ = \ f_u \frac{\partial u}{\partial x} + f_v \frac{\partial v}{\partial x} \ = \ y f_u + z cos(x + 5y) f_v$
$\frac{\partial g}{\partial y} \ = \ f_u \frac{\partial u}{\partial y} + f_v \frac{\partial v}{\partial y} \ = \ x f_u + 5 z cos(x + 5y) f_v$
$\frac{\partial g}{\partial z} \ = \ f_u \frac{\partial u}{\partial z} + f_v \frac{\partial v}{\partial z} \ = \ 2z f_u + sin(x + 5y) f_v$
"lorenzom97":
Partendo dalla costatazione che:
$ dg \ = \ f_u \ du + f_v \ dv $
Perfetto credo di aver capito tutto...ma con f_u intendi la derivata di f rispetto a u? Inoltre questa constatazione da dove nasce? Dalla richiesta stessa dell'esercizio?
Grazie mille
"giulia5395":
[quote="lorenzom97"]
Partendo dalla costatazione che:
$ dg \ = \ f_u \ du + f_v \ dv $
Perfetto credo di aver capito tutto...ma con f_u intendi la derivata di f rispetto a u? Inoltre questa constatazione da dove nasce? Dalla richiesta stessa dell'esercizio?
Grazie mille[/quote]
1) $f_u \ = \ \frac{\partial f}{\partial u}$
2) per spiegarlo meglio:
ponendo $u = xy + z^2$ e $v = z \sin(x + 5y)$ e sapendo che $g(x,y,z)=f(u,v)$
allora $dg = df = \frac{\partial f}{\partial u} du + \frac{\partial f}{\partial v} dv$, che è la formula del differenziale totale di $f(u,v)$
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