Reciproco di una serie di potenze
Salve ragazzi. Avrei una domanda da porvi. Non riesco a venire a capo di quale sia la regola generale per sviluppare in serie di potenze il reciproco di una funzione
Per esempio ho la funzione $f(z)=\frac{1}{sinh z}$
come dovrei svilupparla?
Per esempio ho la funzione $f(z)=\frac{1}{sinh z}$
come dovrei svilupparla?
Risposte
Non so se c'è una "regola generale".
L'unica cosa che mi è venuta, dopo essermi scervellato un po' è questa:
$sinh(z)=(e^z-e^(-z))/2$
quindi
$f(z)=2/(e^z-e^(-z))=-(2e^z)/(1-e^(2z)) =-2e^z \sum_(n=0)^(+oo)e^(2nz) =-2 \sum_(n=0)^(+oo)e^((2n+1)z) $
L'unica cosa che mi è venuta, dopo essermi scervellato un po' è questa:
$sinh(z)=(e^z-e^(-z))/2$
quindi
$f(z)=2/(e^z-e^(-z))=-(2e^z)/(1-e^(2z)) =-2e^z \sum_(n=0)^(+oo)e^(2nz) =-2 \sum_(n=0)^(+oo)e^((2n+1)z) $
In pratica, sull'eserciziario di analisi complessa che ho a disposizione, mi sviluppa le serie dei reciproci tutte allo stesso modo. Per esempio
$\frac{1}{1-cosz}=\frac{2!}{z^2}\frac{1}{1+(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)}=$
e fin qui ci sono. Poi prosegue nel seguente modo
$= \frac{2!}{z^2}\frac{1}{1+(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)}=\frac{2!}{z^2}\[1-(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)+(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)^2+...]$
why?
$\frac{1}{1-cosz}=\frac{2!}{z^2}\frac{1}{1+(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)}=$
e fin qui ci sono. Poi prosegue nel seguente modo
$= \frac{2!}{z^2}\frac{1}{1+(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)}=\frac{2!}{z^2}\[1-(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)+(-\frac{2!}{4!}z^2+\frac{2!}{6!}z^4+...)^2+...]$
why?
Perchè $1/(1+f(x))=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n(f(x))^n$
Finalmente torna tutto =) ti ringrazio Quinzio =)
Il problema però è che quella non è una serie di potenze. Devi quindi sviluppare anche l'esponenziale...
Sviluppo l'esponenziale sostituendo
$e^z= \sum \frac{z^n}{n!}$
e quindi dovrebbe tornare tutto
Il dubbio comunque è se, in generale riesco a calcolare il reciproco $\frac{1}{f(x)}$ partendo dallo sviluppo in serie di $f(x)$, cioè senza fare direttamente lo sviluppo del reciproco. Probabilmente nella maggior parte dei casi posso sfruttare una serie nota, però credo che ci sia un trucchetto algebrico per sviluppare in serie $\frac{1}{f(x)}$ o sbaglio?
Edit: Per esempio come potrei sviluppare la funzione $\frac{1}{cos z}$ partendo dallo sviluppo del coseno?
$e^z= \sum \frac{z^n}{n!}$
e quindi dovrebbe tornare tutto
Il dubbio comunque è se, in generale riesco a calcolare il reciproco $\frac{1}{f(x)}$ partendo dallo sviluppo in serie di $f(x)$, cioè senza fare direttamente lo sviluppo del reciproco. Probabilmente nella maggior parte dei casi posso sfruttare una serie nota, però credo che ci sia un trucchetto algebrico per sviluppare in serie $\frac{1}{f(x)}$ o sbaglio?
Edit: Per esempio come potrei sviluppare la funzione $\frac{1}{cos z}$ partendo dallo sviluppo del coseno?
In effetti per chiarire qualche dubbio mi è bastato andare sulla pagina di wikipedia e vedere l'ultimo esempio
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor#Sviluppi_in_serie_di_Taylor_di_funzioni_di_uso_comune
http://it.wikipedia.org/wiki/Serie_di_Taylor#Sviluppi_in_serie_di_Taylor_di_funzioni_di_uso_comune
Ok, per sviluppi in serie di reciproci di funzioni come
$\frac{1}{sin z }=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{z^2}{2!}-\frac{z^4}{4!}+...}$
e sfruttando la serie geometrica arrivo alla soluzione. Allo stesso modo si può arrivare a stabilire lo sviluppo del coseno, della tangente, ecc..
$\frac{1}{sin z }=\frac{1}{z}\frac{1}{1-\frac{z^2}{2!}-\frac{z^4}{4!}+...}$
e sfruttando la serie geometrica arrivo alla soluzione. Allo stesso modo si può arrivare a stabilire lo sviluppo del coseno, della tangente, ecc..
@ Nick_93: Partendo dal fatto basilare che chi assegna esercizi del genere è, di norma, un sadico, ti dico che questo argomento è trattato nel primo capitolo del Cartan, Elementary Theory of Analytic Functions of One or Several Complex Variables, Dover.
In particolare, si mostra che ogni funzione analitica in(torno a) \(z_0\) tale che \(f(z_0)\neq 0\) è dotata di reciproco pure analitico e che la serie di potenze di centro \(z_0\) di \(\frac{1}{f(z)}\) si determina in un modo abbastanza complicato.
In particolare, si mostra che ogni funzione analitica in(torno a) \(z_0\) tale che \(f(z_0)\neq 0\) è dotata di reciproco pure analitico e che la serie di potenze di centro \(z_0\) di \(\frac{1}{f(z)}\) si determina in un modo abbastanza complicato.
Sono riuscito a trovarlo finalmente, su un altro testo di analisi complessa (grazie comunque dell'indicazione Gugo82 
), sia il prodotto che il rapporto di serie di potenze nel campo complesso. In effetti ci vuole un po di pazienza a sviluppare certe funzioni
), sia il prodotto che il rapporto di serie di potenze nel campo complesso. In effetti ci vuole un po di pazienza a sviluppare certe funzioni
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