Re: Teorema della Divergenza (Cono ellittico) [RISOLTO]
Dato il campo vettoriale su $RR^3$
$F(x,y,z)=(3y^2,3x^2,-z)$
e il dominio di $RR^3$
$ D ={(x,y,z) in RR^3 : sqrt(4x^2+9y^2)<=(z+1) , 1<=z<=2}$
verificare la validità del Teorema di Gauss in $RR^3$ per il campo F e il dominio D.
Questo, a meno di errori di scrittura miei, è il teorema.
\[
\int\!\!\!\! \int\!\!\!\! \int_{\Omega} \operatorname{div} F\ \text{d} x \text{d}y \text{d}z = \iint_{+\partial \Omega} F\cdot \nu\ \text{d}S
\]
La prima parte del dominio si può scrivere come $4x^2 +9y^2<= (z+1)^2 $ che dovrebbe essere un cono ellittico traslato di 1 in basso dall'origine lungo l'asse z. Unendola quindi con la seconda parte, si ottiene un tronco di cono ellittico.
Ora, $ "div" F = -1 $ quindi potrei calcolare l'integrale triplo come il volume della figura cambiato di segno.
Se volessi però calcolarlo "normalmente" ho bisogno delle parametrizzazioni, che in ogni caso mi servono per calcolare l'integrale a destra nel teorema.
So parametrizzare e impostare gli integrali su un cono classico (già fatto altri esercizi simili sul teorema di Gauss), ma non so come procedere per questo ellittico, grazie a chiunque possa darmi una mano.
$F(x,y,z)=(3y^2,3x^2,-z)$
e il dominio di $RR^3$
$ D ={(x,y,z) in RR^3 : sqrt(4x^2+9y^2)<=(z+1) , 1<=z<=2}$
verificare la validità del Teorema di Gauss in $RR^3$ per il campo F e il dominio D.
Questo, a meno di errori di scrittura miei, è il teorema.
\[
\int\!\!\!\! \int\!\!\!\! \int_{\Omega} \operatorname{div} F\ \text{d} x \text{d}y \text{d}z = \iint_{+\partial \Omega} F\cdot \nu\ \text{d}S
\]
La prima parte del dominio si può scrivere come $4x^2 +9y^2<= (z+1)^2 $ che dovrebbe essere un cono ellittico traslato di 1 in basso dall'origine lungo l'asse z. Unendola quindi con la seconda parte, si ottiene un tronco di cono ellittico.
Ora, $ "div" F = -1 $ quindi potrei calcolare l'integrale triplo come il volume della figura cambiato di segno.
Se volessi però calcolarlo "normalmente" ho bisogno delle parametrizzazioni, che in ogni caso mi servono per calcolare l'integrale a destra nel teorema.
So parametrizzare e impostare gli integrali su un cono classico (già fatto altri esercizi simili sul teorema di Gauss), ma non so come procedere per questo ellittico, grazie a chiunque possa darmi una mano.
Risposte
Se utilizzi il seguente cambiamento di variabili:
$\{(x=1/2\rhocos\phi),(y=1/3\rhosin\phi),(z=t-1):}$
ottieni:
$sqrt(4x^2+9y^2)=(z+1) iff \rho=t$
La parametrizzazione, con le opportune condizioni, risulta essere:
$\{(x=1/2\rhocos\phi),(y=1/3\rhosin\phi),(z=\rho-1):}$
$\{(x=1/2\rhocos\phi),(y=1/3\rhosin\phi),(z=t-1):}$
ottieni:
$sqrt(4x^2+9y^2)=(z+1) iff \rho=t$
La parametrizzazione, con le opportune condizioni, risulta essere:
$\{(x=1/2\rhocos\phi),(y=1/3\rhosin\phi),(z=\rho-1):}$
il $z=t-1$ è semplicemente perché un modo "furbo" per farlo venire carino, o altro?
In ogni caso, per quanto riguarda gli estremi di integrazione?
In ogni caso, per quanto riguarda gli estremi di integrazione?
"Shanar":
il $z=t-1$ è semplicemente perché un modo "furbo" per farlo venire carino, o altro?
Se vuoi. Più formalmente, per avere $\rho=t$ piuttosto che $\rho=t+1$.
"Shanar":
In ogni caso, per quanto riguarda gli estremi di integrazione?
Dovresti riuscirci da solo.
$t in [2,3], phi in [0,2pi], rho in [2, 3] $ ?
Si tratta di un integrale doppio:
$\rho in [2, 3] ^^ \phi in [0,2pi[$
$\rho in [2, 3] ^^ \phi in [0,2pi[$
"anonymous_0b37e9":
Si tratta di un integrale doppio:
$\rho in [2, 3] ^^ \phi in [0,2pi[$
L'integrale destro sì, ma devo anche impostare l'altro, no?
La funzione integranda è il prodottto scalare tra il campo e il vettore normale alla superficie determinato facendo il prodotto vettoriale tra i seguenti due vettori tangenti alla superficie:
$u_\rho=1/2cos\phiveci+1/3sin\phivecj+veck$
$u_\phi=-1/2\rhosin\phiveci+1/3\rhocos\phivecj$
Il verso del vettore normale lo adatti allo scopo. Gli estremi di integrazione, essendo un integrale doppio, sono quelli mostrati in precedenza.
$u_\rho=1/2cos\phiveci+1/3sin\phivecj+veck$
$u_\phi=-1/2\rhosin\phiveci+1/3\rhocos\phivecj$
Il verso del vettore normale lo adatti allo scopo. Gli estremi di integrazione, essendo un integrale doppio, sono quelli mostrati in precedenza.
Mmh, credo che non ci siamo intesi; ho capito per quanto riguarda la parte destra del teorema della divergenza, quindi l'integrale doppio. Ora il dubbio mi sorge sulla parte di sinistra: l'integrale triplo della divergenza.
Di solito a lezione seguivamo questo procedimento per svolgere questo tipo di esercizi: Esempio
Di solito a lezione seguivamo questo procedimento per svolgere questo tipo di esercizi: Esempio
Non avevo capito. A sinistra hai un integrale di volume:
$\{(x=1/2\rhocos\phi),(y=1/3\rhosin\phi),(z=t-1):}$
$sqrt(4x^2+9y^2)<=(z+1) iff \rho<=t$
$-\int_2^3dt\int_0^td\rho\int_0^(2\pi)d\phi1/6\rho$
Gli estremi di integrazione in $\rho$ dipendono da $t$.
$\{(x=1/2\rhocos\phi),(y=1/3\rhosin\phi),(z=t-1):}$
$sqrt(4x^2+9y^2)<=(z+1) iff \rho<=t$
$-\int_2^3dt\int_0^td\rho\int_0^(2\pi)d\phi1/6\rho$
Gli estremi di integrazione in $\rho$ dipendono da $t$.
Ok, dovrebbe venire così.
non so se si vedano bene i conti, ma tanto giusto il procedimento e le parametrizzazioni mi interessano; il teorema è verificato quindi a occhio dovrebbe esser corretto, grazie mille per le dritte e la disponibilità
non so se si vedano bene i conti, ma tanto giusto il procedimento e le parametrizzazioni mi interessano; il teorema è verificato quindi a occhio dovrebbe esser corretto, grazie mille per le dritte e la disponibilità
Ricordando che l'area di un'ellisse $[x^2/a^2+y^2/b^2=1]$ vale $[\piab]$, quando si calcola il flusso attraverso le basi si può procedere più semplicemente così:
$[z=1] rarr [x^2+y^2/(4/9)=1] rarr \Phi=(-1)*(-1)*\pi*1*2/3=2/3\pi$
$[z=2] rarr [x^2/(9/4)+y^2=1] rarr \Phi=(-2)*(1)*\pi*3/2*1=-3\pi$
visto che il flusso elementare non dipende dall'elemento di superficie. Ad ogni modo, i tuoi calcoli sono corretti.
$[z=1] rarr [x^2+y^2/(4/9)=1] rarr \Phi=(-1)*(-1)*\pi*1*2/3=2/3\pi$
$[z=2] rarr [x^2/(9/4)+y^2=1] rarr \Phi=(-2)*(1)*\pi*3/2*1=-3\pi$
visto che il flusso elementare non dipende dall'elemento di superficie. Ad ogni modo, i tuoi calcoli sono corretti.
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