Re: Studio di funzioni
Data la funzione f(x) = x cos(x)−sin(x), determinare il numerovdi soluzioni dell’ equazione f(x) = 0 nell’intervallo [0, 2π]. Disegnare un grafico qualitativo di f(x) per x ∈ [0, 2π].
Salve ho questo esercito ma non capisco cosa devo fare, come faccio a capire le soluzioni dell'equazione? Grazie in anticipo
Salve ho questo esercito ma non capisco cosa devo fare, come faccio a capire le soluzioni dell'equazione? Grazie in anticipo
Risposte
Fai un grafico e ragionaci.
ciao vale0
secondo me è meno difficile di quel che sembra...
provo a ragionare con te
il nostro esercizio ci chiede quante sono le soluzioni dell'equazione $f(x)=0$ sapendo che $f(x)=xcosx-senx$
quindi $xcosx-senx=0$
da cui
$xcosx=senx$
cioè
$x=(senx)/(cosx)$
$x=tgx$
quindi ci stiamo chiedendo quante volte il grafico $y=x$ incontra (interseca) il grafico $y=tgx$ con $x$ che può variare tra 0 e $2pi$
fino qui ci sono?
secondo me è meno difficile di quel che sembra...
provo a ragionare con te
il nostro esercizio ci chiede quante sono le soluzioni dell'equazione $f(x)=0$ sapendo che $f(x)=xcosx-senx$
quindi $xcosx-senx=0$
da cui
$xcosx=senx$
cioè
$x=(senx)/(cosx)$
$x=tgx$
quindi ci stiamo chiedendo quante volte il grafico $y=x$ incontra (interseca) il grafico $y=tgx$ con $x$ che può variare tra 0 e $2pi$
fino qui ci sono?
Ciao gio73,
Sì, ci sei...
Si tratta di un'equazione che si è già vista, se non erro ad esempio nella figura di diffrazione della luce attraverso una fenditura. Facendo un grafico delle due funzioni che hai citato poi non è difficile scoprire che le soluzioni dell'equazione proposta $x = tan x $ nell'intervallo $[0, \2pi] $ sono solo $2$: $x = 0 $ e l'altra poco prima di $2\pi $ (il valore approssimato alla quarta cifra decimale è $x = 4,4934 $).
"gio73":
fino qui ci sono?
Sì, ci sei...
Si tratta di un'equazione che si è già vista, se non erro ad esempio nella figura di diffrazione della luce attraverso una fenditura. Facendo un grafico delle due funzioni che hai citato poi non è difficile scoprire che le soluzioni dell'equazione proposta $x = tan x $ nell'intervallo $[0, \2pi] $ sono solo $2$: $x = 0 $ e l'altra poco prima di $2\pi $ (il valore approssimato alla quarta cifra decimale è $x = 4,4934 $).
Ok quindi devo fare lo studio di questo due funzioni separate?, grazie mille 
La derivata prima è $-x sin x$, quindi $f$ prende massimi relativi agli estremi dell'intervallo $[0,2pi]$ (quello in $2pi$ è assoluto) e minimo assoluto in $pi$ e inoltre $f$ è strettamente monotòna in ognuno degli intervalli $[0,pi]$ e $[pi,2 pi]$.
Nei tre punti di estremo individuati, $f$ prende, rispettivamente, i valori $0$, $-pi$ e $2pi$, pertanto la funzione ha due soli zeri in $[0,2pi]$, cioè $0$ ed un numero $xi in ]pi, 2pi[$ (che esiste ed è unico per il teorema degli zeri e per stretta monotònia).
Un grafico della funzione è il seguente:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=-6; ymax=6;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
plot("x*cos(x)-sin(x)",0,6.28);[/asvg]
Nei tre punti di estremo individuati, $f$ prende, rispettivamente, i valori $0$, $-pi$ e $2pi$, pertanto la funzione ha due soli zeri in $[0,2pi]$, cioè $0$ ed un numero $xi in ]pi, 2pi[$ (che esiste ed è unico per il teorema degli zeri e per stretta monotònia).
Un grafico della funzione è il seguente:
[asvg]xmin=0; xmax=6; ymin=-6; ymax=6;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="red";
plot("x*cos(x)-sin(x)",0,6.28);[/asvg]
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