(Re:) Serie di Taylor
Siccome non ho trovato risposta e temo di non aver ricevuto per colpa di commettere un necroposting (ora eliminato e ho trasportato qui) preferisco creare un nuovo topic. Se ho errato qualcosa delle regole moderatemi pure 
Ho un dubio su questa discussione passata: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=207224
Mi piacerebbe porre una domanda sulla dimostrazione che non mi è chiara.
L'ipotesi dell'OP è di avere (cito)
Ossia una funzione analitica f (cioè che la serie di Taylor converga a f in un intorno di $x_0$ e raggio $delta$), il punto è che potrei avere due serie che convergono alla stessa funzione.
Ora quel che non capisco è:
Infatti per quale motivo $sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ converge a $g(x)$? Non c'è nelle ipotesi.
Messa così mi sfugge qualcosa, perché mi pare di poter solo affermare che:
$sum_(k=0)^(+infty)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=f(x)=sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ ma questo è esattamente il dubbio iniziale.
Grazie
Ho un dubio su questa discussione passata: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=207224
Mi piacerebbe porre una domanda sulla dimostrazione che non mi è chiara.
L'ipotesi dell'OP è di avere (cito)
$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+....$
$f(x)=g(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)$
Ossia una funzione analitica f (cioè che la serie di Taylor converga a f in un intorno di $x_0$ e raggio $delta$), il punto è che potrei avere due serie che convergono alla stessa funzione.
Ora quel che non capisco è:
"anto_zoolander":$f(x)=sum_(k=0)^(+infty)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=g(x)$
Infatti per quale motivo $sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ converge a $g(x)$? Non c'è nelle ipotesi.
Messa così mi sfugge qualcosa, perché mi pare di poter solo affermare che:
$sum_(k=0)^(+infty)(f^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k=f(x)=sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ ma questo è esattamente il dubbio iniziale.
Grazie
Risposte
"giangianni":
Infatti per quale motivo $sum_(k=0)^(+infty)(g^((k))(x_0))/(k!)(x-x_0)^k$ converge a $g(x)$?
Come ha scritto anto_zoolander in quel post:
"anto_zoolander":
se $f,g$ hanno le stesse derivate per ogni ordine allora [...] devono coincidere.
e, dato che coincidono, lo sviluppo di una è uguale allo sviluppo dell'altra.
Aggiungo solo, che anto intende \( g^{(k)}(x) = f^{(x)}(x) \) per ogni \(x \) e per ogni \(k \). Non sta dicendo che \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \).
Se supponi solamente che
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
e
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
allora forzatamente hai che \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \) per ogni \(k \) per unicità della serie di potenze. Ma se \( g^{(k)} (x) \neq f^{(k)}(x) \), e può benissimo essere il caso, allora sai già che \[ g(x) \neq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
infatti in \( \mathbb{R} \) essere \( C^{\infty} \) è diverso da essere analitico. Ma ciò non contraddice l'unicità della serie di potenze, perché \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \) per ogni \(k \)
Un esempio l'ho scritto in una risposta data ieri ed è questo
\[f(x) := \left\{\begin{matrix}
e^{-1/x^2}& \text{se} & x \neq 0 \\
0 & \text{se} & x=0
\end{matrix}\right.\]
Abbiamo che \( f(0)=0 \) e inoltre per ogni \( f^{(k)}(0) = 0 \) per ogni \( k \in \mathbb{N}\), dunque la serie associata converge verso \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto 0 \). Infatti
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = 0 \]
per ogni \( x \in \mathbb{R} \), ma chiaramente la funzione \( g \neq f \).
Come puoi veder la funzione \[ g(x) = 0 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \]
ma sono entrambe la stessa serie proprio perché \( g^{(k)}(0)=f^{(k)}(0) \), il punto qui è che \( f \) non è analitica ma è solo \( C^{\infty} \) e dunque
\[ f(x) \neq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\]
Se supponi solamente che
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
e
\[ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
allora forzatamente hai che \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \) per ogni \(k \) per unicità della serie di potenze. Ma se \( g^{(k)} (x) \neq f^{(k)}(x) \), e può benissimo essere il caso, allora sai già che \[ g(x) \neq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(x_0)}{k!} (x-x_0)^k \]
infatti in \( \mathbb{R} \) essere \( C^{\infty} \) è diverso da essere analitico. Ma ciò non contraddice l'unicità della serie di potenze, perché \( f^{(k)}(x_0) = g^{(k)}(x_0) \) per ogni \(k \)
Un esempio l'ho scritto in una risposta data ieri ed è questo
\[f(x) := \left\{\begin{matrix}
e^{-1/x^2}& \text{se} & x \neq 0 \\
0 & \text{se} & x=0
\end{matrix}\right.\]
Abbiamo che \( f(0)=0 \) e inoltre per ogni \( f^{(k)}(0) = 0 \) per ogni \( k \in \mathbb{N}\), dunque la serie associata converge verso \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) definita da \( x \mapsto 0 \). Infatti
\[ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k = 0 \]
per ogni \( x \in \mathbb{R} \), ma chiaramente la funzione \( g \neq f \).
Come puoi veder la funzione \[ g(x) = 0 = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{g^{(k)}(0)}{k!}x^k =\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k \]
ma sono entrambe la stessa serie proprio perché \( g^{(k)}(0)=f^{(k)}(0) \), il punto qui è che \( f \) non è analitica ma è solo \( C^{\infty} \) e dunque
\[ f(x) \neq \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k\]
3m0o rileggendoti credo di aver afferrato il punto. Mi resta un dubbio però: mi pare di capire che supponendo che $g^(k)(x)=f^(k)(x)$ per ogni x e per ogni k porti a concludere che f coincide con g. Ossia come diceva anto_zoolander che la serie con derivate di g converge alla funzione g. Mi sfugge però il perché di questo.
Una serie di potenze è la somma formale
\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
Una funzione si dice analitica su un aperto \(U\) se per ogni \( x_0 \in U \) abbiamo che
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
Una serie di Taylor è una serie di potenze
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \]
Tolgo la dipendenza del punto \(x_0 \) per allegerire la notazione.
Puoi dimostrare che se \( f \) è analitica allora è \(C^{\infty} \) e in più \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \)
Inversamente puoi dimostrare che per ogni serie di potenze \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) esiste una funzione \( C^{ \infty} \) tale che \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \). Ma attenzione non è necessariamente analitica, di più la serie di potenze potrebbe anche non convergere. Ma se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge, potrebbe convergere a qualcosa di diverso da \(f \).
Ed è qui che credo tu stia facendo confusione. Se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge vuol dire che definisce una funzione analitica \( g \), e quindi siccome analitica abbiamo che \( a_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \) ma anche \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \). Contraddice l'unicità della serie di Taylor? No! Perché \( \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \). Inoltre non la contraddice perché non essendo \( f \) analitica essa non sarà uguale a \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \).
Anto ti dice (credo): Se hai \( f \) e \( g \) analitiche e le loro serie di Taylor coincidono allora \( f \) e \( g \) coincidono, pertanto la serie di Taylor è unica.
Perche? Beh se hai \( f \) analitica allora \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \) e hai \( g \) analitica quindi \( g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n \). Inoltre supponi
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n \]
e concludi \( f = g \).
Io ti ho mostrato con quell'esempio che se \(f \) è analitica e \( g \) è una funzione \( C^{\infty} \) differente da \( f \), e le loro serie di Taylor coincidono allora \( g \) non è analitica perché la serie di Taylor è unica.
Se prendi \(f \) e \(g \) differenti ed analitiche la loro serie di Taylor non può coincidere.
\[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
Una funzione si dice analitica su un aperto \(U\) se per ogni \( x_0 \in U \) abbiamo che
\[ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n \]
Una serie di Taylor è una serie di potenze
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n \]
Tolgo la dipendenza del punto \(x_0 \) per allegerire la notazione.
Puoi dimostrare che se \( f \) è analitica allora è \(C^{\infty} \) e in più \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \)
Inversamente puoi dimostrare che per ogni serie di potenze \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) esiste una funzione \( C^{ \infty} \) tale che \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \). Ma attenzione non è necessariamente analitica, di più la serie di potenze potrebbe anche non convergere. Ma se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge, potrebbe convergere a qualcosa di diverso da \(f \).
Ed è qui che credo tu stia facendo confusione. Se \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \) converge vuol dire che definisce una funzione analitica \( g \), e quindi siccome analitica abbiamo che \( a_n = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \) ma anche \( a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!} \). Contraddice l'unicità della serie di Taylor? No! Perché \( \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{g^{(n)}(0)}{n!} \). Inoltre non la contraddice perché non essendo \( f \) analitica essa non sarà uguale a \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n \).
Anto ti dice (credo): Se hai \( f \) e \( g \) analitiche e le loro serie di Taylor coincidono allora \( f \) e \( g \) coincidono, pertanto la serie di Taylor è unica.
Perche? Beh se hai \( f \) analitica allora \( f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n \) e hai \( g \) analitica quindi \( g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n \). Inoltre supponi
\[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{g^{(n)}(0)}{n!} x^n \]
e concludi \( f = g \).
Io ti ho mostrato con quell'esempio che se \(f \) è analitica e \( g \) è una funzione \( C^{\infty} \) differente da \( f \), e le loro serie di Taylor coincidono allora \( g \) non è analitica perché la serie di Taylor è unica.
Se prendi \(f \) e \(g \) differenti ed analitiche la loro serie di Taylor non può coincidere.
Eh sì, non avevo capito un tubo di quello che avevi detto in principio.
Molto chiaro, grazie per il tuo aiutone
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