Re: Integrale
Ragazzi non so svolgere questo integrale $ Int{sen^3 (6x)cos^2(6x)dx $.
Ho provato a trasformare tutto in seno per poi fare per sostituzione ma inutilmente, chi mi può aiutare? Grazie in anticipo
Ho provato a trasformare tutto in seno per poi fare per sostituzione ma inutilmente, chi mi può aiutare? Grazie in anticipo
Risposte
Io partirei dall'identità fondamentale della trigonometria come avevi pensato: $ sin^2(x) + cos^2(x) = 1 $. Pertanto $ sin^2(6x) = 1 - cos^2(6x) $.
L'integrale diventerebbe:
$ \int (1-cos^2(6x))*(sin(6x))*(cos^2(6x)) dx $
Effettuando la sostituzione $ 6x = u $ si otterrebbe $ du = 6 dx $ ovvero $ dx = 1/6 du $. Pertanto: $ \int (1-cos^2(u))*(sin(u))*(cos^2(u)) * 1/6 du $
Portando fuori la costante otteniamo: $ 1/6 \int (1-cos^2(u))*(sin(u))*(cos^2(u)) du $
Sostituendo nuovamente $ cos(u) = t $ otteniamo $ dt = - sin(u) du $ e pertanto $ - 1/6 \int (1-t^2)*(t^2) dt $ che diventa $ -1/6 \int (t^2 - t^4) dt $
Scomponendo l'integrale in due si ottiene $ -1/6 \int t^2 dt + 1/6 \int t^4 dt $ facilmente risolvibile come:
$ -1/6 * (t^3)/3 + 1/6 * (t^5)/5 + c $
Infine si effettuano le sostituzioni inverse: $ -1/18 * (cos^3(u)) + 1/30 * (cos^5(u)) + c $ ed ancora $ -1/18 * cos^3(6x) + 1/30 * cos^5(6x) +c $
L'integrale diventerebbe:
$ \int (1-cos^2(6x))*(sin(6x))*(cos^2(6x)) dx $
Effettuando la sostituzione $ 6x = u $ si otterrebbe $ du = 6 dx $ ovvero $ dx = 1/6 du $. Pertanto: $ \int (1-cos^2(u))*(sin(u))*(cos^2(u)) * 1/6 du $
Portando fuori la costante otteniamo: $ 1/6 \int (1-cos^2(u))*(sin(u))*(cos^2(u)) du $
Sostituendo nuovamente $ cos(u) = t $ otteniamo $ dt = - sin(u) du $ e pertanto $ - 1/6 \int (1-t^2)*(t^2) dt $ che diventa $ -1/6 \int (t^2 - t^4) dt $
Scomponendo l'integrale in due si ottiene $ -1/6 \int t^2 dt + 1/6 \int t^4 dt $ facilmente risolvibile come:
$ -1/6 * (t^3)/3 + 1/6 * (t^5)/5 + c $
Infine si effettuano le sostituzioni inverse: $ -1/18 * (cos^3(u)) + 1/30 * (cos^5(u)) + c $ ed ancora $ -1/18 * cos^3(6x) + 1/30 * cos^5(6x) +c $
Ciao VALE0,
L'integrale proposto è il seguente:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx $
Tanto per cominciare, porrei subito $t := 6x \implies dt = 6 dx \implies dx = 1/6 dt $, in modo che si ha:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = 1/6 int sin^3 t cos^2 t dt $
Considerando poi che $ sin^2 t = 1 - cos^2 t $, si ha:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = 1/6 int sin^3 t cos^2 t dt = 1/6 int sin t cos^2 t (1 - cos^2 t) dt $
A questo punto, ponendo $u := cos t \implies du = - sint dt $, l'ultimo integrale diventa il seguente:
$ 1/6 int sin t cos^2 t (1 - cos^2 t) dt = - 1/6 int u^2 (1 - u^2) du = -1/6 frac{u^3}{3} + 1/6 frac{u^5}{5} + c = frac{u^5}{30} - frac{u^3}{18} + c = $
$ = frac{cos^5 t}{30} - frac{cos^3 t}{18} + c $
Perciò in definitiva si ha:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = 1/6 int sin t cos^2 t (1 - cos^2 t) dt = frac{cos^5 t}{30} - frac{cos^3 t}{18} + c = $
$ = frac{cos^5 (6x)}{30} - frac{cos^3 (6x)}{18} + c = frac{1}{180} cos^3 (6x) [6 cos^2 (6x) - 10] + c = $
$ = frac{1}{180} cos^3 (6x) [6 frac{1 + cos(12x)}{2} - 10] + c = frac{1}{180} cos^3 (6x) [3 cos(12x) - 7] + c $
L'integrale proposto è il seguente:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx $
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx $
Tanto per cominciare, porrei subito $t := 6x \implies dt = 6 dx \implies dx = 1/6 dt $, in modo che si ha:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = 1/6 int sin^3 t cos^2 t dt $
Considerando poi che $ sin^2 t = 1 - cos^2 t $, si ha:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = 1/6 int sin^3 t cos^2 t dt = 1/6 int sin t cos^2 t (1 - cos^2 t) dt $
A questo punto, ponendo $u := cos t \implies du = - sint dt $, l'ultimo integrale diventa il seguente:
$ 1/6 int sin t cos^2 t (1 - cos^2 t) dt = - 1/6 int u^2 (1 - u^2) du = -1/6 frac{u^3}{3} + 1/6 frac{u^5}{5} + c = frac{u^5}{30} - frac{u^3}{18} + c = $
$ = frac{cos^5 t}{30} - frac{cos^3 t}{18} + c $
Perciò in definitiva si ha:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = 1/6 int sin t cos^2 t (1 - cos^2 t) dt = frac{cos^5 t}{30} - frac{cos^3 t}{18} + c = $
$ = frac{cos^5 (6x)}{30} - frac{cos^3 (6x)}{18} + c = frac{1}{180} cos^3 (6x) [6 cos^2 (6x) - 10] + c = $
$ = frac{1}{180} cos^3 (6x) [6 frac{1 + cos(12x)}{2} - 10] + c = frac{1}{180} cos^3 (6x) [3 cos(12x) - 7] + c $
Perché quando rifaccio la sostituzione scompare il Seno
?
?
Perché $ du = - sint dt \implies sin t dt = - du $
OK ok l'ultima cosa il mio libro porta il risultato solo in seno quindi trasformò coseno in seno?
"VALE0":
il mio libro porta il risultato solo in seno quindi trasformo coseno in seno?
Sì, anche se mi pare un po' strano, però...
Per farlo partirei dalla relazione seguente:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = frac{1}{180} cos^3 (6x) [6 cos^2 (6x) - 10] + c $
Ricordando che si ha:
$ cos^2(6x) = 1 - sin^2(6x) $
$ cos^3(6x) = 1/4 [3cos(6x) + cos(18x)] = 1/4 [3(1 - 2 sin^2(3x)) + 1 - 2 sin^2(9x)] = $
$ = 1/4 [3 - 6 sin^2(3x) + 1 - 2 sin^2(9x)] = 1/4 [4 - 6 sin^2(3x) - 2 sin^2(9x)] $
Dunque, salvo che non abbia fatto errori nei conti, si ha:
$ int sin^3 (6x) cos^2(6x) dx = frac{1}{180} cos^3 (6x) [6 cos^2 (6x) - 10] + c = $
$ = frac{1}{720} [4 - 6 sin^2(3x) - 2 sin^2(9x)] [6(1 - sin^2 (6x)) - 10] + c = $
$ = frac{1}{720} [6 sin^2(3x) + 2 sin^2(9x) - 4] [6sin^2 (6x) + 4] + c = $
$ = frac{1}{180} [3 sin^2(3x) + sin^2(9x) - 2] [3sin^2 (6x) + 2] + c $
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