Re: Integrale
Ragazzi non so fare questo esercizio, ho provato a sviluppare il denominatore e mettere a sistema ma non esce : $int{ dx/[(x+1)(x^2+x+1)^2]} $. Ho così messo a sistema $ $A/(x+1)+(bx+c)/[x^2+x+1] +(rx+s) /(x^2+x+1) $ ma no esce il sistema dove sbaglio? grazie I'm anticipo
Risposte
Ma no basta considerare
da cui
quindi considerando
sapresti risolvere $int(x+1)/(x^2+x+1)dx$?
$A/(x+1)+(B+Cx)/(x^2+x+1)$
[size=85]$((Ax^2+Ax+A)+(Bx+B)+(Cx^2+C))/((x+1)(x^2+x+1))=(x^2(A+C)+x(A+B)+(A+B+C))/((x+1)(x^2+x+1))$[/size]
da cui
${(A+C=0),(A+B=0),(A+B+C=1):} => {(C=1),(B=1),(A=-1):}$
quindi considerando
$int1/((x+1)(x^2+x+1))dx=-int1/(x+1)dx+int(x+1)/(x^2+x+1)dx=$
$=log|x+1|+int(x+1)/(x^2+x+1)dx$
$=log|x+1|+int(x+1)/(x^2+x+1)dx$
sapresti risolvere $int(x+1)/(x^2+x+1)dx$?
Posso provarlo a riescomporlo e metterlo a sistema?( forse sono banali ma il nostro insegnante di analisi non fa nemmeno un esercizio 
,) grazie mille 
,) grazie mille
Per il sistema a cosa ti riferisci?
Tranquilla, esponi i tuoi dubbi, anche quelli che per te sono banali.
Tranquilla, esponi i tuoi dubbi, anche quelli che per te sono banali.
Grazie mille:) per sistema intendo "irrompere" la frazione per formate il sistema con a e b, come sopra
Ciao VALE0,
Sconsiglierei...
@anto_zoolander: occhio che nella soluzione che hai proposto c'è un errore un po' "insidioso", in particolare l'ultima parentesi a numeratore è $(Cx^2 + Cx) $, per cui il sistema da risolvere in realtà è il seguente:
$ {(A+C=0),(A+B+C=0),(A+B=1):} \implies {(B=0),(A=1),(C=-1):} $
D'altronde si poteva vedere abbastanza bene anche ad occhio che $ 1/((x+1)(x^2+x+1)) = 1/(x+1) - x/(x^2+x+1) $, per cui si ha:
$ int dx/((x+1)(x^2+x+1)) = int (1/(x+1) - x/(x^2+x+1)) dx = int dx/(x+1) - int x/(x^2+x+1) dx = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 int frac{2x}{x^2+x+1} dx = ln|x + 1| - 1/2 int frac{2x + 1 - 1}{x^2+x+1} dx = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 int frac{2x + 1}{x^2+x+1} dx + 1/2 int frac{dx}{x^2+x+1} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 1/2 int frac{dx}{x^2+x+1} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 1/2 int frac{dx}{(x + 1/2)^2 + (frac{sqrt{3}}{2})^2} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 2/3 int frac{dx}{(frac{x + 1/2}{sqrt{3}/2})^2 + 1} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 2/3 int frac{dx}{(frac{2x + 1}{sqrt{3}})^2 + 1} $
Posto $t := frac{2x + 1}{sqrt{3}} \implies dx = frac{sqrt{3}}{2} dt $ nell'ultimo integrale, in definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int \frac{dx}{(x+1)(x^2+x+1)} = \ln|x + 1| - \frac{1}{2} \ln(x^2 + x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\bigg(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\bigg) + c}
\end{equation*}
"VALE0":
per sistema intendo "irrompere" la frazione per formate il sistema con a e b, come sopra
Sconsiglierei...
@anto_zoolander: occhio che nella soluzione che hai proposto c'è un errore un po' "insidioso", in particolare l'ultima parentesi a numeratore è $(Cx^2 + Cx) $, per cui il sistema da risolvere in realtà è il seguente:
$ {(A+C=0),(A+B+C=0),(A+B=1):} \implies {(B=0),(A=1),(C=-1):} $
D'altronde si poteva vedere abbastanza bene anche ad occhio che $ 1/((x+1)(x^2+x+1)) = 1/(x+1) - x/(x^2+x+1) $, per cui si ha:
$ int dx/((x+1)(x^2+x+1)) = int (1/(x+1) - x/(x^2+x+1)) dx = int dx/(x+1) - int x/(x^2+x+1) dx = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 int frac{2x}{x^2+x+1} dx = ln|x + 1| - 1/2 int frac{2x + 1 - 1}{x^2+x+1} dx = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 int frac{2x + 1}{x^2+x+1} dx + 1/2 int frac{dx}{x^2+x+1} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 1/2 int frac{dx}{x^2+x+1} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 1/2 int frac{dx}{(x + 1/2)^2 + (frac{sqrt{3}}{2})^2} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 2/3 int frac{dx}{(frac{x + 1/2}{sqrt{3}/2})^2 + 1} = $
$ = ln|x + 1| - 1/2 ln(x^2 + x + 1) + 2/3 int frac{dx}{(frac{2x + 1}{sqrt{3}})^2 + 1} $
Posto $t := frac{2x + 1}{sqrt{3}} \implies dx = frac{sqrt{3}}{2} dt $ nell'ultimo integrale, in definitiva si ha:
\begin{equation*}
\boxed{\int \frac{dx}{(x+1)(x^2+x+1)} = \ln|x + 1| - \frac{1}{2} \ln(x^2 + x + 1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan\bigg(\frac{2x + 1}{\sqrt{3}}\bigg) + c}
\end{equation*}
Come fa a venire $ sqrt(3) $??,
Beh,
$ 2/3 \cdot sqrt{3}/2 = 1/sqrt{3} $
$ 2/3 \cdot sqrt{3}/2 = 1/sqrt{3} $
Sisi quello l'ho capito non capisco proprio da dove esce fuori la radice di 3
"VALE0":
non capisco proprio da dove esce fuori la radice di 3
La prima volta "esce fuori" dall'elaborazione del trinomio al denominatore:
$ x^2 + x + 1 = x^2 + x + 1/4 + 3/4 = (x + 1/2)^2 + 3/4 = (x + 1/2)^2 + (sqrt{3}/2)^2 $
OK ok ora tutto chiaro, quindi posso svolgere come hai fatto tu senza svolgere il sistema?
@piloeffe
cavolo, sto perdendo colpi, non mi ero accorto dell'errore
con l'occasione chiedo scusa a Valeria!
cavolo, sto perdendo colpi, non mi ero accorto dell'errore
con l'occasione chiedo scusa a Valeria!
"VALE0":
quindi posso svolgere come hai fatto tu senza svolgere il sistema?
Certo che sì, comunque viene uguale... Però se cambi le carte in tavola, cioè se modifichi l'OP facendo comparire a denominatore dell'integrale un quadrato che prima non c'era, è chiaro che cambia tutto e devi ripartire dall'inizio impostando il sistema corretto...
@ anto_zoolander:
"anto_zoolander":
cavolo, sto perdendo colpi, non mi ero accorto dell'errore
Sarà l'eccessiva frequentazione di ingegneri...
Però è strano, perché anch'io sono un ingegnere, sia pure di vecchio stampo (fra gli ultimi ingegneri elettronici che hanno sostenuto esami come Fisica Tecnica, Meccanica delle Macchine e Macchine, Scienza delle Costruzioni... )
Scherzi a parte, l'errore era un po' "fetente", l'ho scovato solo a ritroso partendo dalla scomposizione "intuitiva" (non col sistema), poi mi sono detto: beh, strano, comunque col sistema deve venire uguale...
OK ok grazie mille
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