Razionalizzazione limite

[SARAC1]

Ciao!

non so se questa è la sezione giusta per fare questo tipo di domanda ma ho un problema nella risoluzione di un limite:

$\lim_{n \to \infty} (root(6)(16x^6 - 3x^5+3) - root(3)(4)x) $

come faccio in questo caso a razionalizzare??

qualcuno può aiutarmi??

Grazie

[Mephlip]

Ciao, devi necessariamente razionalizzare?
Perché se così non fosse, puoi raccogliere $16x^6$ all'interno della radice e ricondurti allo sviluppo di $(1+\varepsilon)^a$, con $\varepsilon \to 0$ per $x \to x_0$.

[pilloeffe]

Ciao SARAC,

"Mephlip":Ciao, devi necessariamente razionalizzare?

Eh, appunto...
Comunque, supponendo che tu debba farlo necessariamente, scriverei il limite proposto (dove hai scritto $n \to +\infty $ invece di $x \to +infty $) nella forma seguente:

$ \lim_{x \to +\infty} (root(6)(16x^6 - 3x^5+3) - root(3)(4)x) = \lim_{x \to +\infty} (root(6)(16x^6 - 3x^5+3) - root(6)(16x^6)) $

Poi sfrutterei l'identità seguente:

$a^6 - b^6 = (a^3 - b^3)(a^3 + b^3) = (a - b)(a^2 + a b + b^2) (a^3 + b^3) \implies $
$ \implies a - b = \frac{a^6 - b^6}{(a^3 + b^3) (a^2 + a b + b^2)} $

Nel tuo caso $a := root(6)(16x^6 - 3x^5+3) $ e $ b := root(6)(16x^6) $, per cui si ha:

$ \lim_{x \to +\infty} (root(6)(16x^6 - 3x^5+3) - root(3)(4)x) = \lim_{x \to +\infty} (root(6)(16x^6 - 3x^5+3) - root(6)(16x^6)) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{16x^6 - 3x^5+3 - 16x^6}{(sqrt{16x^6 - 3x^5+3} + sqrt{16x^6}) (root(3)(16x^6 - 3x^5+3) + root(6){16x^6(16x^6 - 3x^5+3)} + root(3)(16x^6))} $
$ = 3 \cdot \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - x^5}{(sqrt{16x^6 - 3x^5+3} + sqrt{16x^6}) (root(3)(16x^6 - 3x^5+3) + root(6){16x^6(16x^6 - 3x^5+3)} + root(3)(16x^6))} $
$ = - 3/(48 root[3]{2}) = - 1/(16 root[3]{2}) $

[Mephlip]

"pilloeffe":Eh, appunto...

Tutto pur di vincere la Avoid Calculations Award