Razionalizzazione di radice con indice dispari

[python1134]

Salve,
sto risolvendo un limite molto semplice ma ho dei problemi
$lim_(x->2)( root(3)(x) - root(3)(2) )/(x-2)$

Sostituendo il 2 si presenta la forma $0/0$ e quindi cerco di fare qualcos'altro.
La mia idea è quella di razionalizzare, cioè $((root(3)(x) - root(3)(2) )*(root(3)(x) + root(3)(2) ) )/((x-2) * (root(3)(x) + root(3)(2) ) )$

Ma il risultato è sbagliato...
Qual'è l'errore che sto commettendo?

[Weierstress]

Ciao, di solito non consiglio mai di usare De L'Hopital ma questo limite sembra fatto su misura...

$(g'(x))/(h'(x)) = 1/(3root(3)(x^2)) rarr 1/(3root(3)(4)) = root(3)(2)/6$

[pilloeffe]

Ciao python34,

"python34":Qual'è l'errore che sto commettendo?

Innanzitutto "Qual è" senza l'apostrofo...
Italiano a parte, l'errore sta nel fatto che hai usato

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

invece di quella corretta che è la seguente:

$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $

Quindi devi moltiplicare numeratore e denominatore per $(a^2 + ab + b^2) $, con $a := root(3){x} $ e $b := root(3){2} $.

[otta96]

Oppure osservare che $x-2=(root(3)(x) - root(3)(2))(root(3)(x^2)+root(3)(2x)+root(3)(4))$ e semplificare.

[pilloeffe]

Riassumendo:

$lim_{x \to 2}(root(3)(x) - root(3)(2))/(x-2) = lim_{x \to 2} frac{(root(3)(x) - root(3)(2))(root(3)(x^2) + root(3)(2x) + root(3)(2^2))}{(x - 2)(root(3)(x^2) + root(3)(2x) + root(3)(2^2))} = $
$ = lim_{x \to 2} frac{(x - 2)}{(x - 2)(root(3)(x^2) + root(3)(2x) + root(3)(2^2))} = lim_{x \to 2} frac{1}{root(3)(x^2) + root(3)(2x) + root(3)(2^2)} = $
$ = frac{1}{3 root(3)(4)} = frac{root(3)(2)}{6} $

oppure, col metodo equivalente di otta96:

$lim_{x \to 2}(root(3)(x) - root(3)(2))/(x-2) = lim_{x \to 2}(root(3)(x) - root(3)(2))/((root(3)(x) - root(3)(2))(root(3)(x^2)+root(3)(2x)+root(3)(4))) = $
$ lim_{x \to 2} frac{1}{root(3)(x^2) + root(3)(2x) + root(3)(2^2)} = $
$ = frac{1}{3 root(3)(4)} = frac{root(3)(2)}{6} $

[pilloeffe]

Rileggendo questo post di qualche tempo fa, mi sono accorto che c'era un modo molto semplice per risolvere il limite proposto senza neanche ricorrere alla razionalizzazione. Infatti, posto $f(x) := root(3)(x) $ e $x_0 := 2$, il limite proposto si può scrivere nella forma seguente:

$lim_{x \to x_0} frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0) = frac{1}{3 root(3)(x_0^2)} = frac{1}{3 root(3)(4)} = frac{root(3)(2)}{6} $