Razionalizzare una radice n-esima + numero
Come si razionalizza?
$root(5)(f(x)^3)-1$ e più in generale $root(n)(f(x)^m-1$
$root(5)(f(x)^3)-1$ e più in generale $root(n)(f(x)^m-1$
Risposte
$root(n)(root(m)(f(x))-1)$ si può razionalizzare moltiplicando per $root(n)((root(m)(f(x))-1)^(n-1))$ (ma forse ci sono altri modi)
Per l'altro ci devo pensare.
Per l'altro ci devo pensare.
ok cmq l'altra formula è sbagliata è $root(n)(f(x)^m)-1$
"Knuckles":
ok cmq l'altra formula è sbagliata è $root(n)(f(x)^m)-1$
devi pensare alla scomposizione del binomio $a^n-b^n=(a-b)(a^(n-1)+a^(n-2)b+a^(n-3)b^2+ ... +b^(n-1))$, nell'esercizio hai bisogno che entrambi gli addendi vengano elevati alla n, in pratica basta sostituire nella formula che ho scritto sopra a con $a=root(n)f(x)^m$ e b con $b=1$, hai $a-b$ se moltiplichi per il secondo fattore ottieni la differenza delle potenze ennesime, ovvero $f(x)^m-1$
quindi per capirci se ho $root(5)(t^3) - 1$ come diventa?
devi farlo diventare una differenza di potenze quinte, quindi
$((root(5)(t^3) - 1)*((root(5)(t^3))^4+(root(5)(t^3))^3+(root(5)(t^3))^2+(root(5)(t^3))+1))/((root(5)(t^3))^4+(root(5)(t^3))^3+(root(5)(t^3))^2+(root(5)(t^3))+1)=(t^3-1)/((root(5)(t^3))^4+(root(5)(t^3))^3+(root(5)(t^3))^2+(root(5)(t^3))+1)$
$((root(5)(t^3) - 1)*((root(5)(t^3))^4+(root(5)(t^3))^3+(root(5)(t^3))^2+(root(5)(t^3))+1))/((root(5)(t^3))^4+(root(5)(t^3))^3+(root(5)(t^3))^2+(root(5)(t^3))+1)=(t^3-1)/((root(5)(t^3))^4+(root(5)(t^3))^3+(root(5)(t^3))^2+(root(5)(t^3))+1)$
quindi se ho $root(3)(t^2)-1$ avrò: $(t^2-1)/((root(3)(t^2))^2+(root(3)(t^2))+1)$
giusto?
giusto?
esatto 
ottimo business! grazie mille!
grazie mille!
però scusa ho un problema.... io ho questo limite:
$lim_(x->0)(root(5)(x+1)^3-1)/((x+1)root(3)(x+1)^2-1$
razionalizzo:
$lim_(x->0)(((x+1)^3-1)((root(3)(x+1)^3)^2+(root(3)(x+1)^3)+1))/(((x+1)(x+1)^2-1)((root(5)(x+1)^3)^4+(root(5)(x+1)^3)^3+(root(5)(x+1)^3)^2+(root(5)(x+1)^3)+1)$
dopodichè semplifico $(x+1)^3-1$ e mi viene tre quinti.... ma il risultato è nove venticinquesimi
$lim_(x->0)(root(5)(x+1)^3-1)/((x+1)root(3)(x+1)^2-1$
razionalizzo:
$lim_(x->0)(((x+1)^3-1)((root(3)(x+1)^3)^2+(root(3)(x+1)^3)+1))/(((x+1)(x+1)^2-1)((root(5)(x+1)^3)^4+(root(5)(x+1)^3)^3+(root(5)(x+1)^3)^2+(root(5)(x+1)^3)+1)$
dopodichè semplifico $(x+1)^3-1$ e mi viene tre quinti.... ma il risultato è nove venticinquesimi
OK per come hai razionalizzato il numeratore, ma non il denominatore dove hai trascurato il fattore esterno alla radice, se non riportarlo solo nel risultato finale.
Scusa ma non ho capito.... puoi essere più chiara?
$lim_(x->0)(root(5)(x+1)^3-1)/((x+1)root(3)(x+1)^2-1)=lim_(x->0)(root(5)(x+1)^3-1)/(root(3)(x+1)^5-1)=$
solo adesso puoi razionalizzare
solo adesso puoi razionalizzare
ottimo grazie
Ti consiglio di lasciare perdere completamente le razionalizzazioni e di ricondurti al limite notevole in base a cui :
((1+x)^k)-1)/x tende a k per x che tende a 0. E' molto più semplice! Puoi scrivere infatti il numeratore del tuo limite nella forma (x+1)^(3/5)-1 e il denominatore nella forma (x+1)^(5/3)-1; poi per ricondursi al limite notevole basta moltiplicare e dividere per x^(3/5) e per x^(5/3).
((1+x)^k)-1)/x tende a k per x che tende a 0. E' molto più semplice! Puoi scrivere infatti il numeratore del tuo limite nella forma (x+1)^(3/5)-1 e il denominatore nella forma (x+1)^(5/3)-1; poi per ricondursi al limite notevole basta moltiplicare e dividere per x^(3/5) e per x^(5/3).
ok grazie mille per il suggerimento occhio però che mi sembra che tu debba moltiplica e dividere solo per x...
si può usae anche il binomio di Newton per vedere..però è il meno pratico;)
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