Rappresentazione numero complesso

[Matteoo94]

Ciao a tutti,

vorrei chiedervi una mano sul seguente esercizio:

sia $ w = (z-1+i)/(z-i) $ evidenziare sul piano di Gauss tutti i numeri complessi z per i quali w è un numero reale.

Cominciando i calcoli:

$ w = (a+ib-1+i)/(a+ib-i) $

$ w = (a+ib-1+i)/(a+i(b-1)) $

$ (a+ib-1+i)/(a+i(b-1)) * (a-i(b+1))/(a-i(b-1)) $

$ w= (a^2-a + (b+1)^2+i(b+1))/(a^2+(b+1)^2) $

E prendendo solo la parte reale ho:

$ w= (a^2-a + (b+1)^2)/(a^2+(b+1)^2) $

Ma arrivato a questo punto ho immaginato che quest'ultimo identificasse un luogo geometrico ma non riesco a capire quale?

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[spugna2]

"Matteoo94":

$ (a+ib-1+i)/(a+i(b-1)) * (a-i(b+1))/(a-i(b-1)) $

$ w= (a^2-a + (b+1)^2+i(b+1))/(a^2+(b+1)^2) $

Ti è scappato un $b+1$ invece di $b-1$ al numeratore della seconda frazione. A questo punto comunque basta calcolare la parte immaginaria di $w$ e imporre che sia nulla: se rifai i conti ti dovrebbe venire $2a+b-1=0$, che è chiaramente l'equazione di una retta.

[Matteoo94]

"spugna":

Ti è scappato un $b+1$ invece di $b-1$ al numeratore della seconda frazione. A questo punto comunque basta calcolare la parte immaginaria di $w$ e imporre che sia nulla: se rifai i conti ti dovrebbe venire $2a+b-1=0$, che è chiaramente l'equazione di una retta.

Ok,grazie.

[pilloeffe]

Ciao Matteoo94,

Se posso darti un consiglio usa $z = x + iy $ invece di $z = a + ib $ in questo tipo di esercizi: ovviamente è la stessa cosa, ma le equazioni dei luoghi geometrici risultano scritti in una forma che dovrebbe esserti più familiare...
Nel caso in esame ad esempio avresti ottenuto $ 2x+y-1=0 \implies y = - 2x + 1 $

[Palliit]

Faccio rilevare che la definizione di $w$ prevede che sia: $z!=i$ .

[pilloeffe]

Ciao Palliit,

Grazie per il giusto rilievo...
Pertanto della retta $y = - 2x + 1 $ vanno bene tutti i punti tranne il suo punto di intersezione con l'asse $y $, vale a dire tranne il punto $ B(0, 1) $.