Rappresentazione geometrica numeri complessi
Buongiorno a tutti! Chiedo gentilmente delle delucidazioni riguardo un particolare tipo di esercizio che non capisco cioè come rappresentare determinati insiemi di punti che soddisfano particolari condizioni. Mi spiego meglio facendo un esempio:
descrivere geometricamente l'insieme dei punti z che soddisfano $ |z|=2 $ ( con $ z=x+iy $ )
Io so che il valore assoluto di un numero complesso è la distanza tra il punto stesso e l'origine quindi ipotizzo che questo insieme di punti sia una circonferenza di raggio 2 (o sbaglio?).
Se invece avessi come condizione $ |z-2i|<=3 $ (posto che $ |z1-z2| $ descrive la distanza tra i due punti) ipotizzo che avrei una circonferenza di raggio 3 e centrata in 2i (anche qui chiedo conferma).
Nel caso che ho capito meno, come condizione avrei ad esempio $ arg(z)=pi/3 $. In questo caso devo ragionare in coordinate polari e sapendo che arg(z) è l'angolo formato dalla retta ( che congiunge il punto con l'origine ) con la direzione positiva dell'asse x lo devo descrivere semplicemente come il segmento che congiunge il punto con l'origine? Oppure è più complicato di quello che credo?
descrivere geometricamente l'insieme dei punti z che soddisfano $ |z|=2 $ ( con $ z=x+iy $ )
Io so che il valore assoluto di un numero complesso è la distanza tra il punto stesso e l'origine quindi ipotizzo che questo insieme di punti sia una circonferenza di raggio 2 (o sbaglio?).
Se invece avessi come condizione $ |z-2i|<=3 $ (posto che $ |z1-z2| $ descrive la distanza tra i due punti) ipotizzo che avrei una circonferenza di raggio 3 e centrata in 2i (anche qui chiedo conferma).
Nel caso che ho capito meno, come condizione avrei ad esempio $ arg(z)=pi/3 $. In questo caso devo ragionare in coordinate polari e sapendo che arg(z) è l'angolo formato dalla retta ( che congiunge il punto con l'origine ) con la direzione positiva dell'asse x lo devo descrivere semplicemente come il segmento che congiunge il punto con l'origine? Oppure è più complicato di quello che credo?
Risposte
Ciao IlRosso,
i numeri complessi mi interessano particolarmente, ma ho iniziato a studiarli da autodidatta solo di recente quindi intervengo per ragionare insieme a te, le mie affermazioni potrebbero essere scorrette.
Fatta questa premessa
sul primo punto sono d'accordo
sul secondo, più che una circonferenza mi sembra un cerchio che include la frontiera, usando il simbolo$<=$ vanno bene anche i punti interni alla circonferenza o sbaglio?
il terzo, secondo me è come porsi la domanda: "dove si trovano i punti che rappresentano i numeri complessi che hanno tutti come argomento $pi/3$?"
Risposta: "si trovano sulla semiretta uscente dall'origine e che formano un angolo $pi/3$ con l'asse reale".
Che ne dici?
i numeri complessi mi interessano particolarmente, ma ho iniziato a studiarli da autodidatta solo di recente quindi intervengo per ragionare insieme a te, le mie affermazioni potrebbero essere scorrette.
Fatta questa premessa
sul primo punto sono d'accordo
sul secondo, più che una circonferenza mi sembra un cerchio che include la frontiera, usando il simbolo$<=$ vanno bene anche i punti interni alla circonferenza o sbaglio?
il terzo, secondo me è come porsi la domanda: "dove si trovano i punti che rappresentano i numeri complessi che hanno tutti come argomento $pi/3$?"
Risposta: "si trovano sulla semiretta uscente dall'origine e che formano un angolo $pi/3$ con l'asse reale".
Che ne dici?
Tutto corretto eccetto che il secondo esempio è una palla chiusa e nell'ultimo punto il luogo geometrico sarà una semiretta uscente dall'origine, non un segmento.
Paola
Paola
1) $|z|=2 $ , è il luogo dei punti che distano 2 dall'origine e quindi è la crf ( solo il bordo ) di centro l'origine e raggio 2.
2) $ |z-2i| <=3 $ è il luogo dei punti che hanno distanza da $2i $ che sia $<=3 $ ed è quindi il cerchio pieno incluso bordo di centro $2i $ e raggio 3.
2) $ |z-2i| <=3 $ è il luogo dei punti che hanno distanza da $2i $ che sia $<=3 $ ed è quindi il cerchio pieno incluso bordo di centro $2i $ e raggio 3.
sul secondo, più che una circonferenza mi sembra un cerchio che include la frontiera, usando il simbolo≤ vanno bene anche i punti interni alla circonferenza o sbaglio?
Tutto corretto eccetto che il secondo esempio è una palla chiusa
Avete ragione, mi sono espresso male io!
il terzo, secondo me è come porsi la domanda: "dove si trovano i punti che rappresentano i numeri complessi che hanno tutti come argomento π3?"
Risposta: "si trovano sulla semiretta uscente dall'origine e che formano un angolo π3 con l'asse reale".
...e nell'ultimo punto il luogo geometrico sarà una semiretta uscente dall'origine, non un segmento.
Avete più che ragione! Infatti io ho ragionato male pensando a z come un unico punto e non considerandolo come l'insieme dei punti aventi quell'argomento (come poi è specificato dalla consegna)! Pardon!
Però mi è sorto un altro dubbio: se io avessi come condizione per esempio $ pi<=arg(z)<=(7pi)/4 $ come posso descrivere il luogo geometrico di questi punti? Come uno "spicchio" infinito?
Certo come uno spicchio infinito delimitato da una parte dall'asse negativo delle ascisse( asse incluso) e dall'altra parte dalla bisettrice, cioè dalla semiretta ( inclusa), del quarto quadrante.
"Camillo":
Certo come uno spicchio infinito delimitato da una parte dall'asse negativo delle ascisse( asse incluso) e dall'altra parte dalla bisettrice, cioè dalla semiretta ( inclusa), del quarto quadrante.
e se lo chiamassimo angolo?
Senz'altro angolo è appropriato, mi piaceva di pù lo spicchio... 
Ok è ufficiale..devo darmi più da fare per quanto riguarda la terminologia! grazie a tutti cmq! si può chiudere!
grazie a tutti cmq! si può chiudere!
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