Rappresentazione di $x\in[0,1)$ come \(\sum\delta_n/2^n\)

[DavideGenova1]

Ciao, amici! Nella dimostrazione del fatto che l'insieme delle parti di $\mathbb{N}$ ha la stessa potenza dell'insieme dei numeri contenuti in $[0,1)$ il Kolmogorov-Fomin (p. 34 dell'edizione Ed. Riuniti) utilizza, direi, il fatto che ogni numero reale appartenente all'intervallo $[0,1)$ è rappresentabile in modo unico come somma $\delta_1/2+\delta_2/2^2+...+\delta_n/2^n+...$ dove $\delta_k$ vale 1 oppure 0 a seconda del numero rappresentato.
Non mi riesce di dimostrare a me stesso questa rappresentazione. Qualcuno potrebbe darmi una mano a "vedere" questo fatto?
$\aleph_1$ grazie a tutti!

EDIT: Tolto il riferimento terminologicamente errato al delta di Kronecker grazie alla segnalazione di stormy.

[stormy1]

ma il delta di Kronecker ha 2 indici
$delta_(ij)=0$ se $i ne j$
$delta_(ij)=1$ se $i=j$

[Epimenide93]

Se conosci il teorema che permette di rappresentare univocamente un numero reale tramite la sua espansione decimale[nota]non definitivamente uguale a \(9\)[/nota], è sufficiente adattarlo in maniera da utilizzare un sistema di numerazione binario invece che decimale, ed è fatta. Se non lo conosci, puoi trovare una trattazione dettagliata ad esempio su Prodi - Analisi Matematica alle pp. 78-83.

L'idea intuitiva è la stessa che sta alla base del metodo di bisezione (ad esempio) o delle molte dimostrazioni che si svolgono tramite intervalli incapsulati. Tu "punti" un numero reale e dal momento che la serie armonica diverge, ma i singoli termini della serie sono via via più piccoli in modulo, approssimandolo per difetto riesci ad avvicinartici arbitrariamente e quindi, al limite, a rappresentare il numero voluto. La dimostrazione si svolge sulla falsariga di questa considerazione, ovviamente sistemando tutto rigorosamente e facendo i conti con un paio di questioni delicate che saltano fuori una volta impostato il tutto.

"stormy":ma il delta di Kronecker ha 2 indici
$delta_(ij)=0$ se $i ne j$
$delta_(ij)=1$ se $i=j$

Immagino intendesse semplicemente dire che può essere \(0\) o \(1\).

[stormy1]

"Epimenide93":Immagino intendesse semplicemente dire che può essere 0 o 1.

sì,adesso ho capito in che senso è stata usata la notazione

[DavideGenova1]

Mi scuso per l'improprietà terminologica: l'interpretazione data da Epimenide93 al mio $\delta_n$ è corretta. Grazie di cuore a stormy per aver notato l'errore ed a Epimenide93 per averlo emendato e per la spiegazione del problema!!!