Rappresentazione di un dominio
Si consideri il dominio T che in un riferimento cartesiano è limitato dal cerchio $x^2+y^2=4$ e dalle rette $x=y$ e $y=0$. Analiticamente, T può essere rappresentato da $y<=x<=sqrt(4-y^2)$, 0<=y<=qualsiasi numero maggiore di $sqrt2$?
Risposte
Ciao lisdap,
se non ho capito male abbiamo a che fare con un settore circolare ampio $45°$ appartenente al cerchio di raggio due con centro coincidente con l'origine la cui equazione è $x^2+y^2<=4$, e le equazioni delle rette che lo delimitano sono $y=x$ e $y=0$?
se non ho capito male abbiamo a che fare con un settore circolare ampio $45°$ appartenente al cerchio di raggio due con centro coincidente con l'origine la cui equazione è $x^2+y^2<=4$, e le equazioni delle rette che lo delimitano sono $y=x$ e $y=0$?
si esatto.
Mmmm... A me pare che l'insieme \(T\) definito dalle limitazioni di cui sopra sia il seguente:
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
fill="cyan"; stroke="cyan"; strokewidth=0.5; path([[2,0],[0,0],[1.41421,1.41421],[2,0]]); path([[-2,0],[0,0],[-1.41421, -1.41421],[-2,0]]);
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; line([2,0],[0,0]); line([0,0],[1.41421, 1.41421]); arc([2,0],[1.41421,1.41421],2); line([-2,0],[0,0]); line([0,0],[-1.41421, -1.41421]); arc([-2,0],[-1.41421,-1.41421],2);[/asvg]
Se si aggiunge l'ipotesi che \(T\) sia un dominio (i.e., un aperto connesso), allora uno qualsiasi dei due "spicchi" disegnati sopra va bene.
Quindi le limitazioni postate da lisdap (che poi sono quelle della traccia dell'esercizio, se non ho capito male) non individuano bene l'insieme cui fa riferimento.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
fill="cyan"; stroke="cyan"; strokewidth=0.5; path([[2,0],[0,0],[1.41421,1.41421],[2,0]]); path([[-2,0],[0,0],[-1.41421, -1.41421],[-2,0]]);
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; line([2,0],[0,0]); line([0,0],[1.41421, 1.41421]); arc([2,0],[1.41421,1.41421],2); line([-2,0],[0,0]); line([0,0],[-1.41421, -1.41421]); arc([-2,0],[-1.41421,-1.41421],2);[/asvg]
Se si aggiunge l'ipotesi che \(T\) sia un dominio (i.e., un aperto connesso), allora uno qualsiasi dei due "spicchi" disegnati sopra va bene.
Quindi le limitazioni postate da lisdap (che poi sono quelle della traccia dell'esercizio, se non ho capito male) non individuano bene l'insieme cui fa riferimento.
Ciao, scusa sono stato un pò impreciso. Riformulo la domanda: le due condizioni 1) $y<=x<=sqrt(4-y^2), 0<=y<=2$ e 2) $y<=x<=sqrt(4-y^2), 0<=y<=sqrt2$, disegnate in un riferimento cartesiano, danno la stessa figura?
Ovviamente no.
Come è possibile? Se tu metti quelle due condizioni in wolfram alfa viene disegnata la stessa figura.
Ciao allora, ricominciamo, ho fatto un casino. Il testo dell'esercizio è:
Nel dominio T limitato dal cerchio $x^2+y^2=4$ e dalle rette $x=y$ e $y=0$ e contenuto nel primo quadrante, calcolare l'integrale doppio di $x/(1+y)$. Allora, io mi sto impazzendo per il seguente motivo.
Il dominio T può essere rappresentato sia dalla condizione 1)$y<=x<=sqrt(4-y^2)$, $0<=y<=sqrt2$, che è la condizione che usa il libro e che conduce al risultato $log(1+sqrt2)-1+sqrt2$, sia dalla condizione 2)$y<=x<=sqrt(4-y^2)$, $0<=y<=2$. Usando questa seconda condizione, l'integrale viene $log3$. Quindi un integrale doppio calcolato su due domini IDENTICI ha dato risultati diversi. Le condizioni 1 e 2 rappresentano lo stesso insieme, infatti mettendole in wolfram alfa viene fuori lo stesso disegno (non riesco a capire perché tu, gugo, dici di no). Però poi il risultato è diverso...vi prego aiutatemi perché davvero non riesco a venirne fuori! grazie
Nel dominio T limitato dal cerchio $x^2+y^2=4$ e dalle rette $x=y$ e $y=0$ e contenuto nel primo quadrante, calcolare l'integrale doppio di $x/(1+y)$. Allora, io mi sto impazzendo per il seguente motivo.
Il dominio T può essere rappresentato sia dalla condizione 1)$y<=x<=sqrt(4-y^2)$, $0<=y<=sqrt2$, che è la condizione che usa il libro e che conduce al risultato $log(1+sqrt2)-1+sqrt2$, sia dalla condizione 2)$y<=x<=sqrt(4-y^2)$, $0<=y<=2$. Usando questa seconda condizione, l'integrale viene $log3$. Quindi un integrale doppio calcolato su due domini IDENTICI ha dato risultati diversi. Le condizioni 1 e 2 rappresentano lo stesso insieme, infatti mettendole in wolfram alfa viene fuori lo stesso disegno (non riesco a capire perché tu, gugo, dici di no). Però poi il risultato è diverso...vi prego aiutatemi perché davvero non riesco a venirne fuori! grazie
Allora abbiamo questo:[asvg]xmin= -0.1; xmax=2.1; ymin=-0.1; ymax=2.1;
axes("","");
fill="cyan"; stroke="cyan"; strokewidth=0.5; path([[2,0],[0,0],[1.41421,1.41421],[2,0]]);
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; line([2,0],[0,0]); line([0,0],[1.41421, 1.41421]); arc([2,0],[1.41421,1.41421],2); line([1.41421,0],[1.41421,1.41421]);[/asvg]
Secondo me non si può risolvere se non in un modo: spezzare il dominio in due parti:
axes("","");
fill="cyan"; stroke="cyan"; strokewidth=0.5; path([[2,0],[0,0],[1.41421,1.41421],[2,0]]);
strokewidth=2; stroke="dodgerblue"; line([2,0],[0,0]); line([0,0],[1.41421, 1.41421]); arc([2,0],[1.41421,1.41421],2); line([1.41421,0],[1.41421,1.41421]);[/asvg]
Secondo me non si può risolvere se non in un modo: spezzare il dominio in due parti:
- [1] se $x in [0,sqrt2]$ si ha $0<=y<=x$;
[2] se $x in (sqrt2,2]$ si ha $0<=y<=sqrt(4-x^2)$.[/list:u:3m85jq5p]
Conviene riscrivere [1] e [2] in modo da avere $x$ e $y$ "scambiati" (per agevolare il calcolo dell'integrale):
[1] diventa $y in [0,sqrt2]$ e $y<=x<=sqrt2$;
[2] diventa $y in [0,sqrt2]$ e $sqrt2<= x<=sqrt(4-y^2)$.
Il primo integrale è pertanto $int_{y=0}^{sqrt2} (int_{x=y}^{sqrt2} x/(1+y) dx)dy= 1/2 *int_{y=0}^{sqrt2} 1/(1+y) * [x^2]_{x=y}^{sqrt2} dy = 1/2 *int_{y=0}^{sqrt2} (2-y^2)/(1+y) dy $
Il secondo integrale è $int_{y=0}^{sqrt2} (int_{x=sqrt2}^{sqrt{4-y^2}} x/(1+y) dx)dy = 1/2 *int_{y=0}^{sqrt2} 1/(1+y) * [x^2]_{x=sqrt2}^{sqrt{4-y^2}} dy = 1/2 *int_{y=0}^{sqrt2} (2-y^2)/(1+y) dy $
Il risultato finale è la somma di questi due integrali:
$1/2 *int_{y=0}^{sqrt2} (2-y^2)/(1+y) dy +1/2 *int_{y=0}^{sqrt2} (2-y^2)/(1+y) dy =int_{y=0}^{sqrt2} (2-y^2)/(1+y) dy =$
(scrivo $1+1-y^2$ al posto di $2-y^2$ e spezzo nella somma di due integrali)
$= int_{y=0}^{sqrt2} (1-y^2)/(1+y) dy +int_{y=0}^{sqrt2} 1/(1+y) dy = int_{y=0}^{sqrt2} (1-y) dy +int_{y=0}^{sqrt2} 1/(1+y) dy =$
$= [y-y^2/2]_{y=0}^{sqrt2}+[log(1+y)]_{y=0}^{sqrt2}= sqrt2 -1+log(1+sqrt2)$
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