Rappresentazione di funzioni di R^2
Salve, avrei bisogno di una mano perché non capisco dove sbaglio su un esercizio!!
Devo rappresentare nel piano cartesiano l'insieme $ A={(x,y)in R^2:|x|<=y<=sqrt(x+2)} $
Io ho intanto studiato la disequazione $ |x|<=y $ così:
$ |x|={ ( x;x>=0 ),( -x; x<0):} $ allora $ x<=y $ se $ x>=0 $ e $ -x<=y $ se $ x<0 $
ed intanto trovo questo grafico: (dove ho colorato la regione del piano che non fa parte di A)
Poi ho studiato $ y<=sqrt(x+2) $ tenendo conto di come si risolvono le disequazioni irrazionali:
$ {( x+2>=0;x>=-2 ),( y<0 ):} $ $ uu { ( y>=0 ),( y^2<=x^2+2 ):} $
dal primo sistema ho soluzione nulla in quanto dal grafico noto che ho $ y>=0 $ mentre dal secondo:
$ y^2<=x^2+2 $
$ x^2-y^2>=-2 $
$ \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}>=-1 $ e questa è l'equazione di una iperbole!!
Allora il grafico diventa:
E allora A è la parte sopra l'iperbole sull'asse delle ordinate positive? Dove sbaglio?
Nelle soluzioni ho visto che per risolvere la seconda disequazione considera, giustamente, la seconda parte come una funzione composta e disegna il grafico di una radice.. io capisco il suo ragionamento ma non vedo perché è sbagliata l'iperbole!! Grazie in anticipo!!
Devo rappresentare nel piano cartesiano l'insieme $ A={(x,y)in R^2:|x|<=y<=sqrt(x+2)} $
Io ho intanto studiato la disequazione $ |x|<=y $ così:
$ |x|={ ( x;x>=0 ),( -x; x<0):} $ allora $ x<=y $ se $ x>=0 $ e $ -x<=y $ se $ x<0 $
ed intanto trovo questo grafico: (dove ho colorato la regione del piano che non fa parte di A)
Poi ho studiato $ y<=sqrt(x+2) $ tenendo conto di come si risolvono le disequazioni irrazionali:
$ {( x+2>=0;x>=-2 ),( y<0 ):} $ $ uu { ( y>=0 ),( y^2<=x^2+2 ):} $
dal primo sistema ho soluzione nulla in quanto dal grafico noto che ho $ y>=0 $ mentre dal secondo:
$ y^2<=x^2+2 $
$ x^2-y^2>=-2 $
$ \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{2}>=-1 $ e questa è l'equazione di una iperbole!!
Allora il grafico diventa:
E allora A è la parte sopra l'iperbole sull'asse delle ordinate positive? Dove sbaglio?
Nelle soluzioni ho visto che per risolvere la seconda disequazione considera, giustamente, la seconda parte come una funzione composta e disegna il grafico di una radice.. io capisco il suo ragionamento ma non vedo perché è sbagliata l'iperbole!! Grazie in anticipo!!
Risposte
C'è un piccolo errore nellpunto dove hai elevato al quadrato per togliere la radice.
Puoi risolvere anche così. Dividi la disequazione così
\(\displaystyle |x|\leq y \land y\leq \sqrt{x+2} \)
Risolvi $y\geq |x|$ e colori, risolvi poi $y\leq \sqrt{x+2}$ e colori e poi prendi la parte dove i colori si incontrano, cioè l'intersezione e ottieni il risultato.
\(\displaystyle |x|\leq y \land y\leq \sqrt{x+2} \)
Risolvi $y\geq |x|$ e colori, risolvi poi $y\leq \sqrt{x+2}$ e colori e poi prendi la parte dove i colori si incontrano, cioè l'intersezione e ottieni il risultato.
"Crispolto":
C'è un piccolo errore nellpunto dove hai elevato al quadrato per togliere la radice.
Aaaaah, grazie mille! Quindi è effettivamente una radice! Incredibile, ho fatto l'esercizio più volte sbagliandolo sempre!!
"CaMpIoN":
Puoi risolvere anche così. Dividi la disequazione così
\( \displaystyle |x|\leq y \land y\leq \sqrt{x+2} \)
Risolvi $ y\geq |x| $ e colori, risolvi poi $ y\leq \sqrt{x+2} $ e colori e poi prendi la parte dove i colori si incontrano, cioè l'intersezione e ottieni il risultato.
Sìsì, inizialmente facevo così ma avevo troppa confusione con i colori allora ho deciso di fare il contrario cioè di colorare le parti che non fanno effettivamente parte!
Grazie mille per le risposte!! Buona giornata!
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