Rappresentazione decimale
Buongiorno, dovrei svolgere un esercizio per trovare il sup e l'inf di un sottoinsieme di R he in forma decimale hanno parte intera uguale a zero e parte decimale formata da un numero finito di cifre diverse da 0.
In un esercizio simile mi chiede di trovare le stesse cose ma l'insieme è diverso. Sempre parte intera uguale a zero ma parte decimale composta dalle sole cifre 0 e 7.
Li ho svolti, cioè ho trovato max, min, sup ed inf, però ragionando e non rappresentando l'insieme in forma razionale. Ho provato ma per ogni prova nell'insieme non ricadono mai tutti i termini. C'è un modo per rappresentarli? Grazie
In un esercizio simile mi chiede di trovare le stesse cose ma l'insieme è diverso. Sempre parte intera uguale a zero ma parte decimale composta dalle sole cifre 0 e 7.
Li ho svolti, cioè ho trovato max, min, sup ed inf, però ragionando e non rappresentando l'insieme in forma razionale. Ho provato ma per ogni prova nell'insieme non ricadono mai tutti i termini. C'è un modo per rappresentarli? Grazie
Risposte
Allora se per "rappresentare" intendi scrivere col formalismo matematico, inteso come simboli, allora sicuramente si riesce.
Se invece intendi trovare un regola che leghi il numeratore e il denominatore di una frazione per ottenere i due insiemi di cui hai parlato, io dubito che in generale esista, anche se per qualche caso potresti anche trovarla.
Ma la tua domanda è puramente una curiosità o la poni perché pensi sia una richiesta dell'esercizio?
Perché nel primo caso è un ottima domanda, dalla risposta non così ovvia come ho fatto sembrare, mentre nel secondo caso penso che una richiesta di questo calibro oltre ad essere "fuori moda" sarebbe stata ben esplicata dal testo, magari dando anche qualche suggerimento.
Se invece intendi trovare un regola che leghi il numeratore e il denominatore di una frazione per ottenere i due insiemi di cui hai parlato, io dubito che in generale esista, anche se per qualche caso potresti anche trovarla.
Ma la tua domanda è puramente una curiosità o la poni perché pensi sia una richiesta dell'esercizio?
Perché nel primo caso è un ottima domanda, dalla risposta non così ovvia come ho fatto sembrare, mentre nel secondo caso penso che una richiesta di questo calibro oltre ad essere "fuori moda" sarebbe stata ben esplicata dal testo, magari dando anche qualche suggerimento.
Gli esercizi non lo richiedono espressamente, però confrontandoli con l'esercizio precendente che è molto simile, lo svolgimento richiede questa rappresentazione. L'esercizio precedente mi chiede di determinare sempre sup ed inf di un sottoinsieme di R i cui numeri hanno parte intera zero e parte decimale con una sola cifra decimale diversa da zero. L'insieme lo rappresenta così: $a/10^n : ain{1,2,...,9}$.
Quindi ho supposto che si facciano anche in questo modo e visto che non sono riuscito a trovare una rappresentazione dei due insiemi ho pensato di chiedere qui
Quindi ho supposto che si facciano anche in questo modo e visto che non sono riuscito a trovare una rappresentazione dei due insiemi ho pensato di chiedere qui
Penso di aver capito come rappresentare i due insiemi che hai menzionato, sulla falsa riga dell'esempio, tuttavia non so di che utilità potrà essere questa rappresentazione.
Il primo lo puoi rappresentare come :
$$ E_1=\left\{ x\in \mathbb{R}: x=\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{10^k} \, , \, a_k\in\{0,1,2...,9\}\, ,\, n\in \mathbb{N}\right\}$$
mentre il secondo come :
$$ E_2=\left\{ x\in \mathbb{R}: x=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{a_k}{10^k} \, , \, a_k\in\{0,7\}\right\}$$
volendo anche nel primo la sommatoria può essere estesa a più infinito senza che questo alteri l'insieme, perché viene permesso al numeratore di assumere il valore zero, ma bisognerebbe mettere in quel caso una condizione che non permetta ai numeri diversi da zero di essere assunti infinite volte, per questo mi è sembrato più conciso rappresentarlo come ho fatto.
Nel secondo insieme invece non c'è la limitazione di un numero finito di decimali, per questo l'ho rappresentato così.
Chiaramente se esistesse una rappresentazione della forma $x=n/m$ con $m$ tale che bla bla ed $n$ tale che bla bla, sarebbe molto più significativa, tutta via non credo che quest'ultimo tipo di rappresentazione esista o che sia tanto più significativa della rappresentazione che ho scritto poc'anzi.
Il primo lo puoi rappresentare come :
$$ E_1=\left\{ x\in \mathbb{R}: x=\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{10^k} \, , \, a_k\in\{0,1,2...,9\}\, ,\, n\in \mathbb{N}\right\}$$
mentre il secondo come :
$$ E_2=\left\{ x\in \mathbb{R}: x=\sum_{k=1}^{+\infty} \frac{a_k}{10^k} \, , \, a_k\in\{0,7\}\right\}$$
volendo anche nel primo la sommatoria può essere estesa a più infinito senza che questo alteri l'insieme, perché viene permesso al numeratore di assumere il valore zero, ma bisognerebbe mettere in quel caso una condizione che non permetta ai numeri diversi da zero di essere assunti infinite volte, per questo mi è sembrato più conciso rappresentarlo come ho fatto.
Nel secondo insieme invece non c'è la limitazione di un numero finito di decimali, per questo l'ho rappresentato così.
Chiaramente se esistesse una rappresentazione della forma $x=n/m$ con $m$ tale che bla bla ed $n$ tale che bla bla, sarebbe molto più significativa, tutta via non credo che quest'ultimo tipo di rappresentazione esista o che sia tanto più significativa della rappresentazione che ho scritto poc'anzi.
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