Rappresentare nel piano complesso..

[55sarah]

CIao a tutti, non riesco ad andare avanti con questo esercizio sui complessi.. Qualche suggerimento?

Rappresentare nel piano complesso gli insiemi
$E={z\in\mathbb{C}, |z-1+i|
ho provato a svolgere cosi'

be' l'insieme E, viene facile, viene una circonferenza di centro $C=(1,-1)$ e raggio $sqrt(2)$,

perche' viene $x^2+y^2-2x+2y<0$

ho problemi per l'insieme F..ho pensato di fare

$z=1/t\rightarrow |1/t-1+i|
ma mi sembrano calcoli assurdi, qualche altra idea?

Grazie in anticipo.

[ciampax]

Rifletti sulla trasfromazione che ti viene data per passare da $E$ ad $F$: in pratica ti sta dicendo che, detta $\phi: E\rightarrow F$ la trasformazione $\phi(z)=1/z$ ne segue che $F=Im(\phi)$ (l'immagine di tale applicazione).

Ora, la $\phi$ è una inversione, che sulle circonferenze ha un'interessante proprietà. Sai quale essa sia?

[Gi81]

l'insieme E viene facile, viene una circonferenza di centro $C=(1,-1)$ e raggio $sqrt(2)$,

Cerchio, non circonferenza. Anzi, cerchio senza il bordo.

L'insieme ${z in CC, |z-1+i|=sqrt2}$ è una circonferenza.

[ciampax]

Non avevo notato avesse scritto cerchio... grazie Gi8. Comunque, la mia domanda rimane formulata sulle circonferenze... e da lì si può estendere a ciò che accade al loro interno (cerchio meno il bordo).

[Gi81]

Figurati, ciampax. Anzi, bentornato. Era un po' che non ti facevi vedere, o sbaglio?

[stagna1]

generalizzando è corretto dire che se $ z $ è t.c. $ m <= |z| <= n $ e $ alpha <= argz <= beta $ allora per $ w=(1/z) $ si ha che $ |w| >= n $ e $ -beta <= argw <= -alpha $ ?

p.s. per ciampax: è un'involuzione?

[ciampax]

@Gi8: sono stato presissimo dal lavoro! Grazie per il bentornato!
@stagna: sì, mi pare che qualcuno la chiami anche involuzione (io preferisco inversione per ragioni puramente geometriche). Quello che affermi è praticamente giusto, anche se andrebbe scritto meglio così:

Se $m\le |z|\le n$ e $\alpha\le \Arg z\le \beta$ (uso l'argomento principale e suppongo $\alpha,\ \beta\in[0,2\pi]$) allora, se $w=1/z$ si ha

$0\le|w|\le 1/m,\ |w|\ge 1/n$ e $0\le Arg w\le \alpha,\ \beta\le Arg w\le 2\pi$.

[55sarah]

"Gi8":

l'insieme E viene facile, viene una circonferenza di centro $C=(1,-1)$ e raggio $sqrt(2)$,

Cerchio, non circonferenza. Anzi, cerchio senza il bordo.

L'insieme ${z in CC, |z-1+i|=sqrt2}$ è una circonferenza.

ah ok grazie..sì in effetti è un cerchio senza bordo.

Comunque lo so anch'io che se $z=\rho e^{i (\theta)}$ (scritto in forma esponenziale) se io faccio $1/z=1/\rho e^{i(-\theta)}$

ma qui quali sono i $\theta$?.. qua si sa solamente il $rho$ che è $sqrt(2)$, che se faccio $1/\rho= (1)/(sqrt(2))$

ma i $\theta$ quali sono?

[ciampax]

Attenta, sai qualcosa di meglio: tu sai che, $\rho<\sqrt{2}$, per cui...

[55sarah]

si' ok..ora la $\rho$ per l'insieme F, e' compresa tra $0<\rho<(sqrt(2))/(2)$

e quinidi? non capisco dove vuoi arrivare..spiegati meglio..