Rapporto polinomio e sua derivata
Esiste qualche rapporto, in algebra, tra un polinomio e la sua derivata in quanto a ricerca radici???
Ciauz
Ciauz
Risposte
Una radice di un polinomio non nullo a coefficienti in un anello commutativo unitario è multipla se e solo se è anche radice della sua derivata prima.
Se parliamo dell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo a caratteristica 0, allora, presa una radice multipla di un polinomio non nullo $f$, la molteplicità di $f'$ è pari a quella di $f$ meno 1.
Sempre che non dica qualche cretinata delle mie, naturalmente.
Se parliamo dell'anello dei polinomi a coefficienti in un campo a caratteristica 0, allora, presa una radice multipla di un polinomio non nullo $f$, la molteplicità di $f'$ è pari a quella di $f$ meno 1.
Sempre che non dica qualche cretinata delle mie, naturalmente.
Nessuna cretinata: io direi addirittura che si potrebbe definire la molteplicità di uno zero di polinomio in termini di numero di derivate successive annullate, che poi è quello che si fa quando si parla di curve algebriche.
Comunque non c'entra nulla con la ricerca degli zeri. il polinomio derivato può avere zeri in comune col polinomio originario oppure no:
$(x^2+1)'=2x$ e non ci sono zeri in comune (neanche in $CC$);
$(x^2)'=2x$ e c'è uno zero in comune. e difatti questo è uno zero multiplo.
P.S.: per amel - ma il principio di Tamburino che fine ha fatto?
Comunque non c'entra nulla con la ricerca degli zeri. il polinomio derivato può avere zeri in comune col polinomio originario oppure no:
$(x^2+1)'=2x$ e non ci sono zeri in comune (neanche in $CC$);
$(x^2)'=2x$ e c'è uno zero in comune. e difatti questo è uno zero multiplo.
P.S.: per amel - ma il principio di Tamburino che fine ha fatto?
"dissonance":
io direi addirittura che si potrebbe definire la molteplicità di uno zero di polinomio in termini di numero di derivate successive annullate, che poi è quello che si fa quando si parla di curve algebriche.
)
potresti approfondire di più questo argomento?
Certo! Quando abbiamo un polinomio $P\in K[x]$, con $K$ campo, sono equivalenti:
a)$x_0$ è radice di molteplicità $p>0$ di $P$;
b)$x_0$ è radice di $P, P', ldots, P^{(p-1)}$.
dove in a) mi riferisco alla molteplicità definita nella maniera solita (che usa il teorema di Ruffini: in un dominio c.u. $x_0$ radice di $P$ $iff$ $(x-x_0)\ |\ P(x)$).
Quando parliamo di polinomi in più variabili questo teorema non c'è più. Però ci sono ancora le derivate. E difatti diremo che ($P\inK[x_1, ldots, x_n]$)
($(y_1, ldots, y_n)\in K^n$ è radice di molt. $p$ ) $iff$ ($(y_1, ldots, y_n)$ annulla $P$ e tutte le sue derivate parziali fino all'ordine $p-1$-esimo).
Aggiungo un'osservazione mia: questo modo di definire la molteplicità di uno zero lo ritrovi anche per le funzioni derivabili abbastanza volte. Insomma, a me pare più semplice pensare alla molteplicità direttamente come al numero di derivate annullate, ma naturalmente questa è solo la mia opinione!
a)$x_0$ è radice di molteplicità $p>0$ di $P$;
b)$x_0$ è radice di $P, P', ldots, P^{(p-1)}$.
dove in a) mi riferisco alla molteplicità definita nella maniera solita (che usa il teorema di Ruffini: in un dominio c.u. $x_0$ radice di $P$ $iff$ $(x-x_0)\ |\ P(x)$).
Quando parliamo di polinomi in più variabili questo teorema non c'è più. Però ci sono ancora le derivate. E difatti diremo che ($P\inK[x_1, ldots, x_n]$)
($(y_1, ldots, y_n)\in K^n$ è radice di molt. $p$ ) $iff$ ($(y_1, ldots, y_n)$ annulla $P$ e tutte le sue derivate parziali fino all'ordine $p-1$-esimo).
Aggiungo un'osservazione mia: questo modo di definire la molteplicità di uno zero lo ritrovi anche per le funzioni derivabili abbastanza volte. Insomma, a me pare più semplice pensare alla molteplicità direttamente come al numero di derivate annullate, ma naturalmente questa è solo la mia opinione!
diciamo che se $q$ è doppia soluzione di $f(x)=0$ allora è una soluzione anche di $f'(x)=0$. E se $q$ è tripla soluzione della funzione,allora è doppa soluzione di $f'(x)=0$ e una soluzione di $f''(x)=0$
"dissonance":
Certo! Quando abbiamo un polinomio $P\in K[x]$, con $K$ campo, sono equivalenti:
a)$x_0$ è radice di molteplicità $p>0$ di $P$;
b)$x_0$ è radice di $P, P', ldots, P^{(p-1)}$.
dove in a) mi riferisco alla molteplicità definita nella maniera solita (che usa il teorema di Ruffini: in un dominio c.u. $x_0$ radice di $P$ $iff$ $(x-x_0)\ |\ P(x)$).
Se non sbaglio è valido per $K$ di caratteristica 0. Giusto? (o mi ricordo male?)
"dissonance":
P.S.: per amel - ma il principio di Tamburino che fine ha fatto?
L'ho cambiato perchè mi ero stufato.
Spero che tu me lo chieda perchè hai capito da dove viene la citazione e non riferendoti a questo thread, però.
L'ho cambiato perchè mi ero stufato.
Spero che tu me lo chieda perchè hai capito da dove viene la citazione e non riferendoti a questo thread, però.
Ogni riferimento al thread in corso era puramente casuale! Comunque devo ammettere che non ho mica capito da dove vengono le tue citazioni 
...c'entra per caso Don Rosa? Per venire al fatto algebrico: se ti ricordi che la caratteristica deve essere zero, sicuramente sarà vero;
in queste cose mi ricordo che la caratt. p dà un mare di problemi.
Anche questo fatto di pensare le molteplicità in termini di derivate annullate viene dalla geometria, dove in genere (almeno, per quello che ho visto io) si suppone a priori che i campi di riferimento abbiano caratteristica zero.
Sì ho controllato sul Curzio e in effetti nella proposizione a cui tu fai riferimento si richiede di avere la caratteristica 0.
P.S.:
Sì, la mia frase (la prima) viene da "Il capitano cow-boy del Cutty Sark" della saga di Don Rosa. Per quanto riguarda il principio di Tamburino (l'ho battezzato io così) viene niente meno che da "Bambi"!
Fine OT.
P.S.:
Sì, la mia frase (la prima) viene da "Il capitano cow-boy del Cutty Sark" della saga di Don Rosa. Per quanto riguarda il principio di Tamburino (l'ho battezzato io così) viene niente meno che da "Bambi"!
Fine OT.
scusate il ritardo... 
stavo pensando che questa storia della caratteristica zero in effetti non è troppo strana.
Mi spiego meglio: sappiamo che, se un campo $K$ ha caratteristica zero, dato un polinomio (in una indeterminata) $P(x)$ e un $x_0\inK$, possiamo costruire il polinomio di Taylor di $P$ centrato in $x_0$, e che questo è identico al polinomio originario. Una cosa del genere:
$P(x)=P(x_0)+P'(x_0)(x-x_0)+\ldots+(P^{(d)}(x_0))/(d!)(x-x_0)^d, d="deg"(P)$
Non mi sono messo a rifare tutti i conti della dimostrazione, comunque sia la caratteristica zero qua mi pare proprio necessaria, non fosse altro che per garantire non nulli tutti quei fattoriali.
E così è facile dimostrare la proposizione secondo cui la molteplicità di uno zero è il numero di derivate annullate più uno, se infatti $x_0$ è uno zero di $P$ allora:
$P(x)=(P^{(p)}(x_0))/(p!)(x-x_0)^p+\ldots+(P^{(d)}(x_0))/(d!)(x-x_0)^d$
Si capisce che quella $p$ non può essere altro che la molteplicità dello zero $x_0$ (non scendo nel dettaglio ma penso che sia abbastanza chiaro).
Da qua si vede l'analogia con il caso delle funzioni reali di variabile reale: lì, più che di "molteplicità", parliamo di "ordine di infinitesimo", e questo concetto (se parliamo di funzioni sviluppabili in serie di Taylor, o perlomeno dotate di polinomi di Taylor di grado abbastanza alto) coincide con quanto scritto prima, nel senso che l'ordine di infinitesimo (in $x_0$) di una funzione abbastanza regolare coincide con il primo termine non nullo del suo polinomio di Taylor (centrato in $x_0$).
_______________________________________________
Riassumendo...con tutta questa zuppa voglio dire:
la comodità di gettare un ponte tra il concetto di "molteplicità di uno zero" (di polinomio o funzione reale che sia) e quello di "ordine di infinitesimo" (secondo me più intuitivo) deriva dalla possibilità di considerare polinomi di Taylor. E, per i polinomi, questa possibilità ce la offre solo la caratteristica zero.
A chi è più bravo di me chiedo:
prima cosa, di smentirmi nel caso avessi detto fesserie ;
seconda cosa, se è possibile estendere in qualche maniera questo discorso ai polinomi di più variabili. Io in questi casi ho visto la molteplicità di un punto come definita direttamente in termini di derivate annullate. Non so se sia possibile costruire un polinomio di Taylor in più variabili.
stavo pensando che questa storia della caratteristica zero in effetti non è troppo strana.
Mi spiego meglio: sappiamo che, se un campo $K$ ha caratteristica zero, dato un polinomio (in una indeterminata) $P(x)$ e un $x_0\inK$, possiamo costruire il polinomio di Taylor di $P$ centrato in $x_0$, e che questo è identico al polinomio originario. Una cosa del genere:
$P(x)=P(x_0)+P'(x_0)(x-x_0)+\ldots+(P^{(d)}(x_0))/(d!)(x-x_0)^d, d="deg"(P)$
Non mi sono messo a rifare tutti i conti della dimostrazione, comunque sia la caratteristica zero qua mi pare proprio necessaria, non fosse altro che per garantire non nulli tutti quei fattoriali.
E così è facile dimostrare la proposizione secondo cui la molteplicità di uno zero è il numero di derivate annullate più uno, se infatti $x_0$ è uno zero di $P$ allora:
$P(x)=(P^{(p)}(x_0))/(p!)(x-x_0)^p+\ldots+(P^{(d)}(x_0))/(d!)(x-x_0)^d$
Si capisce che quella $p$ non può essere altro che la molteplicità dello zero $x_0$ (non scendo nel dettaglio ma penso che sia abbastanza chiaro).
Da qua si vede l'analogia con il caso delle funzioni reali di variabile reale: lì, più che di "molteplicità", parliamo di "ordine di infinitesimo", e questo concetto (se parliamo di funzioni sviluppabili in serie di Taylor, o perlomeno dotate di polinomi di Taylor di grado abbastanza alto) coincide con quanto scritto prima, nel senso che l'ordine di infinitesimo (in $x_0$) di una funzione abbastanza regolare coincide con il primo termine non nullo del suo polinomio di Taylor (centrato in $x_0$).
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Riassumendo...con tutta questa zuppa voglio dire:
la comodità di gettare un ponte tra il concetto di "molteplicità di uno zero" (di polinomio o funzione reale che sia) e quello di "ordine di infinitesimo" (secondo me più intuitivo) deriva dalla possibilità di considerare polinomi di Taylor. E, per i polinomi, questa possibilità ce la offre solo la caratteristica zero.
A chi è più bravo di me chiedo:
prima cosa, di smentirmi nel caso avessi detto fesserie
;seconda cosa, se è possibile estendere in qualche maniera questo discorso ai polinomi di più variabili. Io in questi casi ho visto la molteplicità di un punto come definita direttamente in termini di derivate annullate. Non so se sia possibile costruire un polinomio di Taylor in più variabili.
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