Rapporto incrementale o derivata in un punto su punti di non derivabilità

[blastor]

Salve ragazzi, avrei un dubbio, mi potreste spiegare perchè quando devo cercare un punto di non derivabilità, mi devo calcolare il rapporto incrementale destro e sinistro in quel punto e non posso farmi la derivata e calcolarmi il limite destro e sinistro in quel punto?

Grazie mille

[kobeilprofeta]

Prendi $sqrt(|x|)=f(x)$. $f'(x)=frac{1}{2*sqrt(|x|)}$. $x=0$ è di non derivabilità per $f$.
In questo caso posso benissimo fare $lim_{x to 0^-} 1/(2*sqrt(|x|))= lim_{x to 0^+} 1/(2*sqrt(|x|))= +infty$.
Peró in certi casi bisogna fare come dici tu, ma non sempre...

[ostrogoto1]

Per inciso nell'esempio del messaggio precedente
$ f'(x)=(sgn(x))/(2sqrt(|x|) $ et
$ lim_(xrarr0^-)(sgn(x))/(2sqrt(|x|))=-oo $
$ lim_(xrarr0^+)(sgn(x))/(2sqrt(|x|))=+oo $

[kobeilprofeta]

Sí... Il fatto è che avevo messo prima $sqrt(x)$, poi mi sono accorto che non potevo fare limite destro e sinistro... Allora ho aggiunto un valore assoluto random, senza peró ricontrollare. Thanks.

[Rigel1]

Se hai \(f\colon (a,b)\to\mathbb{R}\) continua in \(x_0\in (a,b)\) e derivabile (almeno) in \((a,b)\setminus \{x_0\}\), allora se esiste (finito o \(\pm\infty\)) il limite
\[
(1)\qquad \lim_{x\to x_0+} f'(x)
\]
allora esiste anche il limite destro del rapporto incrementale e i due limiti sono uguali. (Analoga considerazione vale, ovviamente, per i limiti sinistri.) Infatti è in questo caso possibile applicare il teorema di l'Hopital al limite del rapporto incrementale.
Tuttavia, il limite del rapporto incrementale può esistere anche quando il limite in (1) non esiste.
Considera, ad esempio, la funzione
\[
f(x) = \begin{cases}
x^2 \sin (1/x), &\text{se}\ x\neq 0,\\
0, &\text{se}\ x= 0,
\end{cases}
\]
che è derivabile nell'origine ma non esiste \(\lim_{x\to 0} f'(x)\).