Rapporto fibonacci
ciao a tutti,
non riesco a dimostrare che $lim_{n\to+oo}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ esiste. dove $a_{n}$ è la successione di Fibonacci.
Ho dimostrato che il rapporto è limitato però non mi basta. dovrei far vedere che è di Cauchy ma non riesco a dimostrarlo.
qualche sugerimento
non riesco a dimostrare che $lim_{n\to+oo}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$ esiste. dove $a_{n}$ è la successione di Fibonacci.
Ho dimostrato che il rapporto è limitato però non mi basta. dovrei far vedere che è di Cauchy ma non riesco a dimostrarlo.
qualche sugerimento
Risposte
Perché non provi a dimostrare,
procedendo magari per induzione e tenendo conto sia della legge di definizione classica della successione di Fibonacci che d'un risultato del quale già sei in possesso,
che la successione di quei rapporti ha monotone
(e dunque regolari,
ma pure qualcosa di più vistane la limitatezza già acquisita..)
sia l'estratta di posto pari che quella di posto dispari?
In tal modo potresti verificare che siffatte estratte,sebbene con "versi" opposti,
son vincolate a convergere verso lo stesso(magico..)numero reale:
sarà a quel punto "semplice" dimostrare,a norma di definizione,
come la successione di quei rapporti tende ad esso..
Tengo a dirti che non sono del tutto certo che così fili tutto bene
(è veramente troppo lontana Analisi I per ricordare questi dettagli,
e non posso affermare con sicurezza né che il mio Prof ne parlò né,in tal caso,
se lo ha fatto come t'ho suggerito..),
ma ad occhio mi pare di si:
saluti dal web.
procedendo magari per induzione e tenendo conto sia della legge di definizione classica della successione di Fibonacci che d'un risultato del quale già sei in possesso,
che la successione di quei rapporti ha monotone
(e dunque regolari,
ma pure qualcosa di più vistane la limitatezza già acquisita..)
sia l'estratta di posto pari che quella di posto dispari?
In tal modo potresti verificare che siffatte estratte,sebbene con "versi" opposti,
son vincolate a convergere verso lo stesso(magico..)numero reale:
sarà a quel punto "semplice" dimostrare,a norma di definizione,
come la successione di quei rapporti tende ad esso..
Tengo a dirti che non sono del tutto certo che così fili tutto bene
(è veramente troppo lontana Analisi I per ricordare questi dettagli,
e non posso affermare con sicurezza né che il mio Prof ne parlò né,in tal caso,
se lo ha fatto come t'ho suggerito..),
ma ad occhio mi pare di si:
saluti dal web.
Per verificare che la successione sia di Cauchy si deve dimostrare che:
$\forall \epsilon >0, \exists N, \forall n,n+1 >N, |\phi_{n+1}-\phi_n|<\epsilon.$
Quindi basterebbe dimostrare che
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{a_n}{a_{n-1}}|< \epsilon.$
Sappiamo che
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{a_n}{a_{n-1}}|< |\frac{a_{n+1}}{a_n}|+|-\frac{a_{n}}{a_n-1}| \leq |\frac{a_{n+1}}{a_n}|+| \frac{a_{n}}{a_n-1}| $.
Se riesci a dimostrare che $\forall \epsilon >0, \exists N, \forall n,n+1 >N, |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < \frac{\epsilon}{2}$ dovresti aver finito!
$\forall \epsilon >0, \exists N, \forall n,n+1 >N, |\phi_{n+1}-\phi_n|<\epsilon.$
Quindi basterebbe dimostrare che
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{a_n}{a_{n-1}}|< \epsilon.$
Sappiamo che
$|\frac{a_{n+1}}{a_n}-\frac{a_n}{a_{n-1}}|< |\frac{a_{n+1}}{a_n}|+|-\frac{a_{n}}{a_n-1}| \leq |\frac{a_{n+1}}{a_n}|+| \frac{a_{n}}{a_n-1}| $.
Se riesci a dimostrare che $\forall \epsilon >0, \exists N, \forall n,n+1 >N, |\frac{a_{n+1}}{a_n}| < \frac{\epsilon}{2}$ dovresti aver finito!
La successione di Fibonacci \( F_1=1, F_2=1, F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\) gode della seguente proprietà dimostrabile per induzione: \( F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n\).
Abbiamo: \( \displaystyle \left| \frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n-1}}\right|=\left| \frac{F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2}{F_nF_{n-1}} \right|=\frac{1}{F_nF_{n-1}}\)
Tenutop conto che \( F_n \geq n\) per \( n \geq 5\) abbiamo
\( \displaystyle \left| \frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n-1}}\right|\leq \frac{1}{n(n-1)}\) per \( n>5\)
La convergenza del rapporto discende facilmente dalla convergenxa della serie di termine generale \( \displaystyle \frac{1}{n(n-1)}\). Tralascio i dettagli.
Abbiamo: \( \displaystyle \left| \frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n-1}}\right|=\left| \frac{F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2}{F_nF_{n-1}} \right|=\frac{1}{F_nF_{n-1}}\)
Tenutop conto che \( F_n \geq n\) per \( n \geq 5\) abbiamo
\( \displaystyle \left| \frac{F_{n+1}}{F_n}-\frac{F_n}{F_{n-1}}\right|\leq \frac{1}{n(n-1)}\) per \( n>5\)
La convergenza del rapporto discende facilmente dalla convergenxa della serie di termine generale \( \displaystyle \frac{1}{n(n-1)}\). Tralascio i dettagli.
@ miuemia: Senza troppi patemi si riesce a far vedere che, posto \(\tau_n := F_{n+1}/F_n\), l'estratta dispari [risp. pari] da \((\tau_n)\) è crescente [risp. decrescente] e limitata, quindi convergente; inoltre, si vede pure che le due estratte, se regolari, hanno lo stesso limite; quindi...
@ totissimus: Approccio interessante; non avevo mai pensato ad una stima del genere. Di solito ho sempre fatto tutto "a mano" (cfr. sopra).
@ totissimus: Approccio interessante; non avevo mai pensato ad una stima del genere. Di solito ho sempre fatto tutto "a mano" (cfr. sopra).
@Gugo82.
A questo punto sospetto che la mia verifica sia una reminescenza di Analisi I..
Saluti dal web.
A questo punto sospetto che la mia verifica sia una reminescenza di Analisi I..
Saluti dal web.
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