Rapporto 0/0
Buongiorno a tutti, ho una curiosità da sottoporvi:
Come ben so anch'io il rapporto $ a/0 $ con $ a!=0 $ non ha senso.
Tuttavia il rapporto $ 0/0 $ si dice indeterminato. Con la parola indeterminato si vuole intendere semplicemente che a priori non possiamo dire quanto valga il rapporto, ma che esiste un rapporto eventualmente finito, o comunque anche in questo caso si tratta di un'espressione priva di senso?
La domanda mi viene dal fatto che studiando la diffrazione da una fenditura in fisica, si studia l'intensità del massimo centrale che è data da un rapporto di due quantità che vanno a zero.
Ora noi l'abbiamo studiato come un limite del tipo $ lim_(x -> 0)(senx)/x=1 $ che restituisce un valore finito. Tuttavia il limite a rigore mi dice il valore assunto in un intorno di x=0.
Ma la diffrazione è un fenomeno fisico e faccio fatica a pensare che in un punto (x=0, non l'intorno ma proprio x=0) dello spazio la quantità "intensità luminosa" non esista o "non abbia senso" perchè data da un rapporto $ 0/0 $.
Dunque il caso $ 0/0 $ non significa che non c'è il rappporto, ma solo che senza ulteriore informazione non possiamo determinarlo?
Grazie a chi avrà la pazienza di leggere e rispondere
Come ben so anch'io il rapporto $ a/0 $ con $ a!=0 $ non ha senso.
Tuttavia il rapporto $ 0/0 $ si dice indeterminato. Con la parola indeterminato si vuole intendere semplicemente che a priori non possiamo dire quanto valga il rapporto, ma che esiste un rapporto eventualmente finito, o comunque anche in questo caso si tratta di un'espressione priva di senso?
La domanda mi viene dal fatto che studiando la diffrazione da una fenditura in fisica, si studia l'intensità del massimo centrale che è data da un rapporto di due quantità che vanno a zero.
Ora noi l'abbiamo studiato come un limite del tipo $ lim_(x -> 0)(senx)/x=1 $ che restituisce un valore finito. Tuttavia il limite a rigore mi dice il valore assunto in un intorno di x=0.
Ma la diffrazione è un fenomeno fisico e faccio fatica a pensare che in un punto (x=0, non l'intorno ma proprio x=0) dello spazio la quantità "intensità luminosa" non esista o "non abbia senso" perchè data da un rapporto $ 0/0 $.
Dunque il caso $ 0/0 $ non significa che non c'è il rappporto, ma solo che senza ulteriore informazione non possiamo determinarlo?
Grazie a chi avrà la pazienza di leggere e rispondere
Risposte
Veramente, è sottinteso che:
$[x ne 0] rarr [I(x)=I_maxsin^2x/x^2]$
$[x=0] rarr [I=I_max]$
ossia, l'intensità è perfettamente calcolabile anche per $[x=0]$ e vale $[I=I_max]$. Insomma, il valore dell'intensità per $[x=0]$ non è necessariamente calcolato facendo il limite.
$[x ne 0] rarr [I(x)=I_maxsin^2x/x^2]$
$[x=0] rarr [I=I_max]$
ossia, l'intensità è perfettamente calcolabile anche per $[x=0]$ e vale $[I=I_max]$. Insomma, il valore dell'intensità per $[x=0]$ non è necessariamente calcolato facendo il limite.
ok, ma quindi a prescindere dall'esempio particolare che forse non l'ho azzeccato, la mia domanda era se esiste una qualche differenza sostanziale tra $ 0/0 $ e $ a/0 $ con $a!=0$?
D'altra parte se pongo $ 0/0=x $ ho che $ 0=0x $ e quindi qualunque x soddisfa l'equazione dunque questo mi fa pensare che esiste un rapporto, ma può essere qualunque? Esempi a parte il ragionamento è corretto?
D'altra parte se pongo $ 0/0=x $ ho che $ 0=0x $ e quindi qualunque x soddisfa l'equazione dunque questo mi fa pensare che esiste un rapporto, ma può essere qualunque? Esempi a parte il ragionamento è corretto?
Allora, calma, stai violentando l'algebra in maniera devastante. Il motivo per cui entrambi i rapporti $ 0/0 $ e $a/0$ creano problemi è che lo 0 non ha un inverso rispetto alla moltiplicazione.
Del resto, se lo avesse avremo subito un assurdo: $b in RR$ è inverso di $a in RR$ se $ab = 1$, ma per sua definizione, $0a = 0 AA a in RR$
Quindi, scrivere $/0$ non ha proprio senso, almeno fino a che pretendi di rimanere nell'insieme dei numeri reali. Potresti dire "mi invento un elemento che sia inverso dello 0", ma allora faresti crollare tutte e strutture algebriche su $RR$ ed a catena tutta l'algebra. Se ti va di ricostruirla d'accapo con la coerenza che ha al momento, accomodati, ma a me piace così com'è
In analisi non si studia il rapporto $a/0$ , dato che non ha senso proprio come simbologia, bensì il rapporto $a/(epsilon)$, dove $epsilon$ è una quantità che TENDE a 0, tipicamente al variare di un indice intero (successione) o continuo (funzione).
Detto in soldoni, la domanda non è "quanto fa 1/0", bensì "cosa accade se faccio 1 diviso una quantità che diventa sempre più piccola fino a diventare indistinguibile da zero?"
Per rispondere a tale domanda si chiama in causa l'infinito: se vuoi darti un'aria poetica, puoi dire "l'inverso del nulla è il tutto, ed il tutto è infinito", oppure puoi convincerti che, se la successione $a_n ->0$, allora $1/a_n -> infty$.
Capita però di avere anche al numeratore una quantità che va a 0, ed allora si ha un conflitto: lo 0 al numeratore tira verso la quantità 0, il nulla, al denominatore invece tira verso l'infinito, cosa accade? Vince uno dei due? O magari si eliminano a vicenda e si finisce da qualche parte nel mezzo, ovvero in una quantità finita? Questa è la cosiddetta forma di indecisione.
La risposta a questa domanda sta nello studio del limite, che trovi trattato in qualunque testo di analisi 1. Ordini di infinito, sviluppi di Taylor e blablabla. Non sto a dilungarmi su questo.
Spero di non aver detto cose fuori tema o che già conosci. Come vedi la questione esula dal problema di fisica che hai proposto. Ci sarebbe da parlarne per giorni. Cmunque io sono qui se vuoi discutere ancora
Del resto, se lo avesse avremo subito un assurdo: $b in RR$ è inverso di $a in RR$ se $ab = 1$, ma per sua definizione, $0a = 0 AA a in RR$
Quindi, scrivere $/0$ non ha proprio senso, almeno fino a che pretendi di rimanere nell'insieme dei numeri reali. Potresti dire "mi invento un elemento che sia inverso dello 0", ma allora faresti crollare tutte e strutture algebriche su $RR$ ed a catena tutta l'algebra. Se ti va di ricostruirla d'accapo con la coerenza che ha al momento, accomodati, ma a me piace così com'è
In analisi non si studia il rapporto $a/0$ , dato che non ha senso proprio come simbologia, bensì il rapporto $a/(epsilon)$, dove $epsilon$ è una quantità che TENDE a 0, tipicamente al variare di un indice intero (successione) o continuo (funzione).
Detto in soldoni, la domanda non è "quanto fa 1/0", bensì "cosa accade se faccio 1 diviso una quantità che diventa sempre più piccola fino a diventare indistinguibile da zero?"
Per rispondere a tale domanda si chiama in causa l'infinito: se vuoi darti un'aria poetica, puoi dire "l'inverso del nulla è il tutto, ed il tutto è infinito", oppure puoi convincerti che, se la successione $a_n ->0$, allora $1/a_n -> infty$.
Capita però di avere anche al numeratore una quantità che va a 0, ed allora si ha un conflitto: lo 0 al numeratore tira verso la quantità 0, il nulla, al denominatore invece tira verso l'infinito, cosa accade? Vince uno dei due? O magari si eliminano a vicenda e si finisce da qualche parte nel mezzo, ovvero in una quantità finita? Questa è la cosiddetta forma di indecisione.
La risposta a questa domanda sta nello studio del limite, che trovi trattato in qualunque testo di analisi 1. Ordini di infinito, sviluppi di Taylor e blablabla. Non sto a dilungarmi su questo.
Spero di non aver detto cose fuori tema o che già conosci. Come vedi la questione esula dal problema di fisica che hai proposto. Ci sarebbe da parlarne per giorni. Cmunque io sono qui se vuoi discutere ancora
Nell'Analisi Zero del De Marco mi sembra di ricordare che viene affrontata la questione. Sostanzialmente ci sono due modi di arrivare a definire i numeri della forma \(\displaystyle \frac{a}{b} \).
Nel primo modo si parte dalla definizione di inverso di \(\displaystyle a \) che si indica con \(\displaystyle \frac{1}{a} \), e poi si definisce \(\displaystyle \frac{a}{b} \) come \(\displaystyle a \) moltiplicato per l'inverso di \(\displaystyle b \), quindi, come dice IlPolloDiGödel, in questo caso sia \(\displaystyle \frac{a}{0} \) che \(\displaystyle \frac{0}{0} \) non hanno senso.
Nel secondo modo si definisce \(\displaystyle \frac{a}{b} \) come quel numero \(\displaystyle x \) che soddisfa l'equazione \(\displaystyle bx=a \).
Allora \(\displaystyle \frac{0}{0} \) indica qualsiasi numero e \(\displaystyle \frac{a}{0} \) nessun numero.
Nel primo modo si parte dalla definizione di inverso di \(\displaystyle a \) che si indica con \(\displaystyle \frac{1}{a} \), e poi si definisce \(\displaystyle \frac{a}{b} \) come \(\displaystyle a \) moltiplicato per l'inverso di \(\displaystyle b \), quindi, come dice IlPolloDiGödel, in questo caso sia \(\displaystyle \frac{a}{0} \) che \(\displaystyle \frac{0}{0} \) non hanno senso.
Nel secondo modo si definisce \(\displaystyle \frac{a}{b} \) come quel numero \(\displaystyle x \) che soddisfa l'equazione \(\displaystyle bx=a \).
Allora \(\displaystyle \frac{0}{0} \) indica qualsiasi numero e \(\displaystyle \frac{a}{0} \) nessun numero.
Sulla questione dei limiti e ciò che succede in un intorno di zero non ho alcun dubbio. Ciò che chiedevo io era proprio riguardo lo zero, non suoi intorni.
Quello che dice bobus sembra darmi conferma: $0/0$ indica qualsiasi numero proprio (e non un "non ha senso") in virtù del fatto che $0a=0$ è soddisfatta per qualunque valore di $a$ che era ciò che avevo ipotizzato all'inizio, infarcendolo con un'esempio poco azzeccato che ha portato un po' il discorso fuori tema.
Tuttavia il primo modo di definire i numeri in forma $a/b$ menzionato da bobus dice che invece $0/0$ non ha senso... dunque quale delle due definizioni tenere per buona? È indifferente? Non cambia nulla?
Quello che dice bobus sembra darmi conferma: $0/0$ indica qualsiasi numero proprio (e non un "non ha senso") in virtù del fatto che $0a=0$ è soddisfatta per qualunque valore di $a$ che era ciò che avevo ipotizzato all'inizio, infarcendolo con un'esempio poco azzeccato che ha portato un po' il discorso fuori tema.
Tuttavia il primo modo di definire i numeri in forma $a/b$ menzionato da bobus dice che invece $0/0$ non ha senso... dunque quale delle due definizioni tenere per buona? È indifferente? Non cambia nulla?
Va bene, vedo che occorre un chiarimento. Quando dico "non ha senso" intendo che non ha un utilizzo, uno scopo se vogliamo, all'interno del sistema dal quale è scaturito, vale a dire l'analisi matematica, o volendo la matematica in generale; nello specifico, $0/0$ può essere definito come vi pare, ad esempio come la soluzione dell'equazione $a*0 = 0$ come è stato detto, ma questo cosa ci dice? Non conosco nulla che derivi da questo elemento. E' un soggetto senza predicati, non sappiamo cosa farne noi miseri mortali
Magari si possono definire delle proprietà di $0/0$, dargli un nome meno scomodo, definire dei nuovi spazi e vedere come si interfacciano con quelli già noti; se non morirò intellettualmente nei prossimi due anni può darsi che mi butti su questo argomento. Ma allo stato delle cose non conosco nulla che si relazioni a $0/0$, quindi, anche se si può definirlo, per me quell'elemento non ha senso.
Tanto per essere poetici, lo chiamerò "elemento tutto". Il nome è provvisorio, ovviamente.
Per amore di precisione, lo direi invece "sbagliato" se generasse un assurdo. Non so se sia così, logicamente parlando, anzi mi interessa molto scoprirlo e sarei grato a chiunque mi mostrasse tale assurdo (o la prova che esso non esista). Per ora non dirò che è sbagliato, dato che proprio non lo so.
Comunque, il motivo per cui insistevo tanto sullo studio degli intorni dello 0 è che si tratta dell'unico modo per riportare questo elemento privo di senso nell'ambito dei reali che ben conosciamo, almeno qualche volta. Altre volte non è possibile ma ci si riporta all'infinito, ovvero un elemento che, nella logica comune, non ha senso tale e quale al nostro $0/0$, ma che riceve uno scopo e regole di comportamento ed allora assume significato. Infine ci sono volte in cui neanche l'infinito basta ed allora si dice che il limite non esiste, e buonanotte.
Vabbè, tutta sta menata mi ha divertito, ma in conclusione la risposta la tua domanda, secondo me, è "è indifferente", dato che puoi definire $0/0$ come ti pare, ma non ci sono attualmente utilizzi per esso.
Magari si possono definire delle proprietà di $0/0$, dargli un nome meno scomodo, definire dei nuovi spazi e vedere come si interfacciano con quelli già noti; se non morirò intellettualmente nei prossimi due anni può darsi che mi butti su questo argomento. Ma allo stato delle cose non conosco nulla che si relazioni a $0/0$, quindi, anche se si può definirlo, per me quell'elemento non ha senso.
Tanto per essere poetici, lo chiamerò "elemento tutto". Il nome è provvisorio, ovviamente.
Per amore di precisione, lo direi invece "sbagliato" se generasse un assurdo. Non so se sia così, logicamente parlando, anzi mi interessa molto scoprirlo e sarei grato a chiunque mi mostrasse tale assurdo (o la prova che esso non esista). Per ora non dirò che è sbagliato, dato che proprio non lo so.
Comunque, il motivo per cui insistevo tanto sullo studio degli intorni dello 0 è che si tratta dell'unico modo per riportare questo elemento privo di senso nell'ambito dei reali che ben conosciamo, almeno qualche volta. Altre volte non è possibile ma ci si riporta all'infinito, ovvero un elemento che, nella logica comune, non ha senso tale e quale al nostro $0/0$, ma che riceve uno scopo e regole di comportamento ed allora assume significato. Infine ci sono volte in cui neanche l'infinito basta ed allora si dice che il limite non esiste, e buonanotte.
Vabbè, tutta sta menata mi ha divertito, ma in conclusione la risposta la tua domanda, secondo me, è "è indifferente", dato che puoi definire $0/0$ come ti pare, ma non ci sono attualmente utilizzi per esso.
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