Rappesentazione di un solido

[CallistoBello]

Salve,
mi è capitato un insieme\solido descritto da una disequazione che non riesco a ricondurre ad una delle quadriche fondamentali.

$C={(x,y,z):z in[0,h],sqrt(x^2+y^2)<=(h-z)^3/h^2}$ con $h>0$

Se lì non ci fosse una potenza al cubo , ma una potenza della forma : $(h-z)^2$,
potrei dire che è un CONO RETTO (tuttavia non è questo il caso)

Suggerimenti su come "disegnare" il suddetto insieme?

[moccidentale]

.

[CallistoBello]

"sellacollesella":Nei due casi da te considerati, si ha:
x2+y2−−−−−−√=(h−z)2h2⇒x2+y2=12(1−zh)4x2+y2−−−−−−√=(h−z)3h2⇒x2+y2=h2(1−zh)6
che pertanto non corrispondono al "cono" sopra esposto, bensì ci assomiglieranno e saranno più rastremati.

Quindi , nel mio caso, nonostante abbia:
$sqrt(x^2+y^2)=(h-z)^3/h^2 $ e quindi $x^2+y^2=h^2(1-z/h)^6$
posso comunque abbozzare un CONO RETTO di raggio: $h$ ed altezza:$h$
, con vertice in $(0,0,h)$.
E quindi dire che: "uno strato " di questo dominio è : "un cerchio di raggio: $r_z$"
dove dal I criterio di similitudine dei triangoli rettangoli , si ha che:
$r_z: h= (h-z):h $--> $r_z= (h-z)$

Corretto?

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Nel caso particolare $h = 2 $ ad esempio il disegno è questo.

[moccidentale]

.

[CallistoBello]

"sellacollesella":In generale, potrai avere un'equazione cartesiana del tipo:
x2+y2=r2(1−zh)α
con r≥0, h≥0, α≥0 parametri fissati

Ha un nome questa generalizzazione dell'equazione del cono retto ?

"sellacollesella":il raggio di ogni circonferenza è R(z)=r(1−zh)α/2.

Da cosa lo si deduce?
Nel caso di un CONO RETTO , mi basta considerare i due triangoli rettangoli rispettivamente con Cateto: R ed R(z) , e giocare il tutto sulla proporzionalità dei lati.
Ma nel caso della generica superficie descritta da quella Equazione?

"sellacollesella": a seconda di come si fissi α≥0 la forma cambia così

Ok , quindi mi pare di capire che:
- per $alpha=0$ --> ho un CILINDRO
- in un range di potenze reali tra 0 ed 1 (0 escluso , 1 incluso) --> ho un PARABOLOIDE
- per $alpha in (1,2]$ --> ho un CONO
- per tutti gli $alpha >2$ --> ho che il CONO si assottiglia nel vertice

Nel mio caso, ho questa sorta di " cappello da mago"
https://www.wolframcloud.com/obj/8fb8ffa3-df1b-48d2-a247-356a6f57ecf2

[moccidentale]

.

[CallistoBello]

C'è qualche generalizzazione per trattare anche il caso:
$z=he^-(sqrt(x^2+y^2)/R)$

Chiedo perché negli esercizi d'esame , mi si chiede di "disegnare il dominio" prima di risolvere l' Integrale triplo .
In questo caso , non riuscendo a riconoscere il CONO ho tracciato una generica superficie
(ma non è stata una scelta felice)

[pilloeffe]

"CallistoBello":C'è qualche generalizzazione per trattare anche il caso:

$z=he^{-\sqrt{x^2 + y^2}/R}$

Beh, questa è un'esponenziale a due dimensioni...
Posto $r := \sqrt{x^2 + y^2} $, si può scrivere:

$z = h e^{-r/R} $

Il dominio naturale è $D = \RR^2 $

Nel comodo caso particolare $R = 1 $ si ha:

$\int\int_D h e^{-\sqrt{x^2 + y^2}}\text{d}x \text{d}y = h\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-\sqrt{x^2 + y^2}}\text{d}x \text{d}y = h \int_0^{2\pi}\int_0^{+\infty} \rho e^{-\rho}\text{d}\rho \text{d}\theta = 2\pi h $

Nel caso generale si può osservare che l'esponente si può scrivere $- \sqrt{{x^2 + y^2}/R^2} = - \sqrt{(x/R)^2 + (y/R)^2} $ e risulta evidente l'opportunità di porre $ x/R = \rho cos\theta $ e $y/R = \rho sin\theta $ ed in tal caso si ottiene il risultato $ 2\pi R^2 h $ (che ovviamente nel caso particolare $R = 1 $ diventa il risultato precedentemente scritto).